二重四元数

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは1843年に四元数^[10][11]を導入し、1873年までにウィリアム・キングドン・クリフォードは、彼が biquaternions^[12][13] と呼んだこれらの数の広範な一般化を得た。これは現在クリフォード代数と呼ばれているものの例である^[3]。

1898年、アレクサンダー・マッコレー（英語版）は二重四元数代数を生成するために Ω² = 0 となる Ω を使用した^[14]。 しかしながら、彼の octonions という用語は定着しなかった。今日の八元数は別の代数であるためである。

1891年、エドゥアルト・シュトゥーディ（英語版）はこの結合多元環が3次元空間の運動群を記述するのに理想的であることに気づいた。彼は1901年の Geometrie der Dynamen でこのアイデアをさらに発展させた^[15]。 B・L・ファン・デル・ヴェルデンはこの構造を「シュトゥーディの双四元数」と呼んだ。これは双四元数（英語版）と呼ばれる3つの8次元代数のうちの1つである。

1895年、ロシアの数学者アレクサンドル・コテルニコフ（英語版）は、力学の研究で使用するために二重ベクトルと二重四元数を開発した^[16]。

二重四元数での演算を記述するために、まず四元数を考えると役に立つ^[17]。

四元数は、基底要素 1, i, j, k の線形結合である。i, j, k に対するハミルトンの積の規則は、しばしば次のように書かれる。

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

i ( i j k ) = −j k = −i を計算して j k = i を得、( i j k ) k = −i j = −k または i j = k を得る。ここで j ( j k ) = j i = −k なので、この積は i j = −j i となることがわかる。これは四元数を行列式の性質に関連付ける。

四元数の積を扱う便利な方法は、四元数をスカラーとベクトル（厳密には2-ベクトル（英語版））の和として書くことである。すなわち A = a₀ + A である。ここで a₀ は実数であり、A = A₁ i + A₂ j + A₃ k は3次元ベクトルである。ベクトルのドット積とクロス積の演算を使用して、A = a₀ + A と C = c₀ + C の四元数積を次のように定義できる。

${\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

二重四元数は通常、係数として二重数を持つ四元数として記述される。二重数は順序対 â = ( a, b ) である。2つの二重数は成分ごとに加算され、規則 â ĉ = ( a, b ) ( c, d ) = (a c, a d + b c) に従って乗算される。二重数はしばしば â = a + εb の形で書かれる。ここで ε は i, j, k とであり、ε² = 0 の性質を持つ二重数単位である。

その結果、二重四元数は四元数の順序対 ( A, B ) として書くことができる。2つの二重四元数は成分ごとに加算され、次の規則に従って乗算される。

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

二重四元数を二重スカラーと二重ベクトルの和 Â = â₀ + A として書くと便利である。ここで â₀ = ( a, b ) であり、A = ( A, B ) はスクリューを定義する二重ベクトルである。この表記法により、2つの二重四元数の積を次のように書くことができる。

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+{\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

2つの空間変位 D_B = ([R_B], b) と D_A = ([R_A], a) の合成 D_C = D_BD_A の二重四元数定式化の利点は、結果の二重四元数が合成変位 D_C のスクリュー軸（英語版）と二重角を直接与えることである。

一般に、空間変位 D = ([A],d) に関連付けられた二重四元数は、そのスクリュー軸（英語版） S = (S,V) と二重角 (φ,d) から構成される。ここで φ は軸周りの回転、d は軸に沿ったスライドであり、変位 D を定義する。関連付けられた二重四元数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\phi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\phi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

変位 D_B と D_A の合成を変位 D_C = D_BD_A とする。D_C のスクリュー軸と二重角は、D_A と D_B の二重四元数の積から得られる。

${\displaystyle {\hat {A}}=\cos({\hat {\alpha }}/2)+\sin({\hat {\alpha }}/2){\mathsf {A}}\quad {\text{and}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B}}.}$

すなわち、合成変位 D_C = D_BD_A は、次の関連付けられた二重四元数を持つ。

${\displaystyle {\hat {C}}=\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}\right)\left(\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}\right).}$

この積を展開して次を得る。

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}\right)+\left(\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}\right).}$

この方程式の両辺を恒等式

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}=\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}$

で割って次を得る。

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}+\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.}$

これは、2つの変位のスクリュー軸によって定義される合成変位のスクリュー軸に対するロドリゲス（英語版）の公式である。彼は1840年にこの公式を導出した^[18]。

3つのスクリュー軸 A, B, C は空間三角形^[19]を形成し、この三角形の辺を形成する共通法線の間のこれら頂点での二重角は、3つの空間変位の二重角に直接関係している。

四元数積の行列表現は、行列代数を使用して四元数計算をプログラミングするのに便利である。これは二重四元数演算にも当てはまる。

四元数積 AC は、四元数 C の成分に対する演算子 A による線形変換であるため、C の成分から構成されるベクトルに作用する A の行列表現が存在する。

四元数 C = c₀ + C の成分をベクトル C = (C₁, C₂, C₃, c₀) として構成する。ここでは四元数のベクトル部の成分を先に、スカラー部を後に並べていることに注意せよ。これは任意の選択だが、この規則を選択したら、それに従わなければならない。

四元数積 AC は、行列積として次のように表すことができる。

${\displaystyle AC=[A^{+}]C={\begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&-A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_{1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.}$

積 AC は、A の成分に対する C による演算と見なすこともできる。その場合、次のようになる。

${\displaystyle AC=[C^{-}]A={\begin{bmatrix}c_{0}&-C_{3}&C_{2}&C_{1}\\C_{3}&c_{0}&-C_{1}&C_{2}\\-C_{2}&C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

二重四元数積 ÂĈ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) は、次のように行列演算として定式化できる。Ĉ の成分を8次元ベクトル Ĉ = (C₁, C₂, C₃, c₀, D₁, D₂, D₃, d₀) として構成すると、ÂĈ は 8x8 行列の積で与えられる。

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {A}}^{+}]{\hat {C}}={\begin{bmatrix}A^{+}&0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.}$

四元数で見たように、積 ÂĈ は座標ベクトル Â に対する Ĉ の演算と見なすことができる。つまり、ÂĈ は次のように定式化することもできる。

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {C}}^{-}]{\hat {A}}={\begin{bmatrix}C^{-}&0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.}$

変位 D = ([A], d) の二重四元数は、回転 [A] を定義する四元数 S = cos(φ/2) + sin(φ/2)S と、並進ベクトル d から構成される純虚四元数 D = d₁i + d₂j + d₃k から構成できる。この表記法を使用すると、変位 D = ([A], d) の二重四元数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {S}}=S+\varepsilon {\frac {1}{2}}DS.}$

移動体内の点 p を通る方向 x の直線のプリュッカー座標と、点 P を通る方向 X の固定フレーム内の座標は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {x}}=\mathbf {x} +\varepsilon \mathbf {p} \times \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad {\hat {X}}=\mathbf {X} +\varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .}$

すると、この物体の変位の二重四元数は、次の式によって移動フレームのプリュッカー座標を固定フレームのプリュッカー座標に変換する。^[要説明]

${\displaystyle {\hat {X}}={\hat {S}}{\hat {x}}{\overline {{\hat {S}}^{*}}}.}$

二重四元数積の行列表現を使用すると、これは次のようになる。

${\displaystyle {\hat {X}}=[{\hat {S}}^{+}][{\hat {S}}^{-}]^{*}{\hat {x}}.}$

この計算は行列演算を使用して容易に行える。

特に剛体運動において、単位二重四元数を同次変換行列として表すと役立つ場合がある。上記のように、二重四元数は ${\displaystyle {\hat {q}}=r+d\varepsilon r}$ と書くことができる。ここで r と d は両方とも四元数である。r 四元数は実部または回転部として知られ、${\displaystyle d}$ 四元数は二重部または変位部として知られる。

回転部は次のように与えられる。

${\displaystyle r=r_{w}+r_{x}i+r_{y}j+r_{z}k=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)}$

ここで ${\displaystyle \theta }$ は単位ベクトル ${\displaystyle {\vec {a}}}$ で与えられる方向周りの回転角である。変位部は次のように書くことができる。

${\displaystyle d=0+{\frac {\Delta x}{2}}i+{\frac {\Delta y}{2}}j+{\frac {\Delta z}{2}}k}$.

3次元ベクトルの二重四元数等価物は

${\displaystyle {\hat {v}}:=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}$

であり、${\displaystyle {\hat {q}}}$ によるその変換は次のように与えられる^[20]。

${\displaystyle {\hat {v}}'={\hat {q}}\cdot {\hat {v}}\cdot {\overline {{\hat {q}}^{*}}}.}$

これらの二重四元数（または実際には3次元ベクトル上のそれらの変換）は、同次変換行列によって表すことができる。

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\\\Delta x&&&\\\Delta y&&R&\\\Delta z&&&\\\end{pmatrix}}}$

ここで 3×3 直交行列は次のように与えられる。

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}r_{w}^{2}+r_{x}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{x}r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x}\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.}$

3次元ベクトル

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}}$

に対して、T による変換は次のように与えられる。

${\displaystyle {\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}}$

2種類のクリフォード代数である四元数と二重数のテンソル積であることに加え、二重四元数はクリフォード代数に関して他の2つの定式化を持つ。

第一に、二重四元数は、${\displaystyle i^{2}=j^{2}=-1}$ および ${\displaystyle e^{2}=0}$ を満たす3つの反交換生成元 ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle e}$ によって生成されるクリフォード代数と同型である。${\displaystyle k=ij}$ および ${\displaystyle \varepsilon =ek}$ を定義すると、二重四元数を定義する関係はこれらによって導かれ、逆もまた同様である。第二に、二重四元数は、以下を満たす4つの反交換生成元 ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ によって生成されるクリフォード代数の偶部分代数と同型である。

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

詳細については、Clifford algebras: dual quaternions を参照。

エドゥアルト・シュトゥーディ（英語版）とウィリアム・キングドン・クリフォードの両者が二重四元数を使用し、それについて書いたため、著者によっては二重四元数を "Study biquaternions" または "Clifford biquaternions" と呼ぶことがある。後者のエポニムは分解型双四元数（英語版）を指すためにも使用されている。クリフォードの支持者の見解については、以下にリンクされている Joe Rooney の記事を参照。クリフォードとシュトゥーディの主張には議論があるため、競合を避けるために現在の名称である二重四元数を使用するのが便利である。