双曲多様体

双曲 ${\displaystyle n}$-多様体は、断面曲率が定数 -1 であるような完全 n-次元リーマン多様体である。

負の定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ と等長である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ である。したがって、そのようなすべての M は、${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma }$ と書くことが出来る。すなわち、Γ は ${\displaystyle SO_{1,n}^{+}\mathbb {R} }$ の離散部分群である。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、Γ が格子であることである。

その厚薄分解（英語版）は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド n-1-次元多様体と閉半直線の積である厚い部分からなる。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。

n > 2 に対し、双曲 n-次元多様体の有限体積上の双曲構造は、モストウの剛性定理によって一意であり、したがって幾何的不変性は位相的不変性である。

• 双曲3次元多様体
• マルグリスの補題（英語版）
• 双曲空間（英語版）
• 双曲化定理（英語版）
• 正規双曲不変多様体（英語版）

• Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolic manifolds and discrete groups, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, MR1792613 
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 219, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, MR1937957, https://books.google.co.jp/books?id=yrmT56mpw3kC&redir_esc=y&hl=ja 
• Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN 978-0-387-33197-3, MR2249478 
• Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen