垂直接線

垂直接線と密接に関連している概念に、垂直尖点がある。これは、片側微分がいずれも無限大であるが、片方は正でもう片方は負の時に起こる。例えば、

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=+\infty \quad {\text{and}}\quad \lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=-\infty }$

が成り立つなら、ƒ のグラフには、左側では上向き、右側では下向きに伸びる尖点が存在する。

垂直接線と同様に、連続関数の導関数の極限を調べることで垂直接点を見つけることも、しばしば可能となる。例えば、

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f'(x)=-\infty \quad {\text{and}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)=+\infty }$

が成り立つなら、ƒ のグラフには左側では下向き、右側では上向きに伸びる尖点が存在する。これは、左側では ${\displaystyle \infty }$ に、右側では ${\displaystyle -\infty }$ に向かう、導関数のグラフ上の垂直漸近線に対応する。

関数

${\displaystyle f(x)=x^{1/3},f'(x)={\frac {1}{3x^{2/3}}}}$

は、連続かつ

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)=\infty }$

が成り立つため、x = 0 において垂直接線を持つ。

同様に、関数

${\displaystyle g(x)=x^{2/3},g'(x)={\frac {2}{3x^{1/3}}}}$

は、連続かつ

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}g'(x)=-\infty }$

および

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}g'(x)=+\infty }$

が成り立つため、x = 0 において垂直尖点を持つ。

Vertical Tangents and Cusps. Retrieved May 12, 2006.