定数変化法

方程式

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}}$

を解くことを考える。一般解を求めるために、斉次方程式

${\displaystyle y''+4y'+4y=0}$

を解くと、この固有多項式は

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}}$

で、固有値 −2 は重根であるから、u₁ = e^−2x および u₂ = xe^−2x が基本解となる。これらのロンスキー行列式は

${\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\end{vmatrix}}=e^{-4x}}$

である。これは 0 でないから、この二つの函数は確かに斉次方程式の一般解を生成する。

従って、A(x)u₁ + B(x)u₂ が非斉次方程式の一般解となるような A(x), B(x) を求めればよいが、それには積分

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)b(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)b(x)\,dx}$

を計算すればよい。結局、

${\displaystyle {\begin{cases}A(x)=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,dx=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}\\B(x)=\int e^{2x}\cosh {x}\,dx={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}\end{cases}}}$

が求まる。ただし、C₁, C₂ は積分定数である。

微分方程式

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

を解くにあたって、D を微分演算子として線型微分作用素

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

を定義すると、L および f(x) が既知として、方程式 Lu = f を u に関して解けばよい、ということになる。

定数変化法を用いるために、まずは対応する斉次方程式

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

を解かねばならない。この方程式は二階であるから、線型独立な二つの解 u₁, u₂ が得られれば、定数変化法を適用することができる。

求める微分方程式の一般解 u_G は

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)}$

の形をしているはずである。ただし、A(x), B(x) は未知で、u₁(x), u₂(x) は斉次方程式の解である。A(x) と B(x) がともに定数ならば Lu_G = 0 となるのは明らかである。A = A(x), B = B(x) は

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0}$

となるものと仮定すると、

${\displaystyle u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)}$

となり、さらに微分して

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)}$

を得る。従って、L の u_G への作用は

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)}$

と書くことができるが、u₁ と u₂ は斉次方程式の解だから

${\displaystyle Lu_{G}(=f)=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)}$

となる。

以上から連立方程式

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

が得られたので、A(x), B(x) を求めるために、これを A′, B′ について解くと

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

を得る。ただし W は u₁ と u₂ のロンスキー行列式である（u₁ と u₂ が線型独立であるという仮定から W が 0 でないことは分かっている）。ゆえに

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)f(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)f(x)\,dx}$

を得る。

斉次方程式が比較的容易に解ける限り、この方法で非斉次方程式の一般解の係数を計算することができて、非斉次方程式の完全な一般解を決定することができる。

A(x) も B(x) も任意定数（積分定数）を除いて定まる点に注意。元々の方程式が二階だったので、積分定数が2個出ることは予期されることである。A(x) または B(x) に定数を加えても、L は線型だから、Lu_G(x) の値は変わらない。

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill 
• Boyce, W. E.; DiPrima, R. C. (1965). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition. Wiley Interscience , pages 186-192, 237-241
• Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ 

• Online Notes / Proof by Paul Dawkins, Lamar University.
• variation of parameters - PlanetMath.（英語）
• Motivation of method via celestial mechanics