平面応力状態

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平面応力状態でのフックの法則は、E をヤング率、νをポアソン比として

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{x}=2\mu \epsilon _{x}+\lambda '(\epsilon _{x}+\epsilon _{y}),\quad \sigma _{y}=2\mu \epsilon _{y}+\lambda '(\epsilon _{x}+\epsilon _{y}),\quad \sigma _{z}=0,\\&\tau _{xy}=2\mu \gamma {xy},\quad \tau _{yz}=\gamma _{zx}=0\end{aligned}}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}&\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}(\sigma _{x}-\nu \sigma _{y}),\quad \epsilon _{y}={\frac {1}{E}}(\sigma _{y}-\nu \sigma _{x}),\quad \epsilon _{z}=-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{x}+\sigma _{y}),\\&\gamma _{xy}={\frac {1}{2G}}\tau _{xy},\quad \gamma _{yz}=\gamma _{zx}=0\end{aligned}}}$

と表される^[2]。ただしλとμはラメ定数、

${\displaystyle \lambda '={\frac {2\lambda \mu }{\lambda +2\mu }}}$

である。特に、平面応力状態では、z 軸方向の垂直ひずみは 0 とはならず、xy 平面のひずみのポアソン比に起因する分だけ発生する^[3]ことに注意を要する。

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平面応力状態における応力の平衡方程式は、外力が作用しない場合、次式となる^[3][4]：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}=0,\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}=0.\end{aligned}}}$

これは、次の関係式を満たすエアリー（Airy）の応力関数φを導入することで自動的に満足される：

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}},\quad \sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}},\quad \tau _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}.}$

これを上記のフックの法則を用いてφとひずみとの関係式に書き直し、ひずみの適合条件式に代入することで、φの満たすべき条件式が次のように得られる：

${\displaystyle \nabla ^{4}\phi ={\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial y^{4}}}=\nabla ^{2}(\sigma _{x}+\sigma _{y})=0.}$

これはφが重調和関数であり、主応力和（応力テンソルの第1不変量）が調和関数であることを示す。

複素解析の結果を用いると、応力関数は複素関数でも表現できる。この場合の応力関数をウェスターガード（Westergaard）の応力関数と呼ぶ。