断面二次モーメント

断面を含む平面にx 軸、y 軸があるとする。 x 軸に関する断面二次モーメント I_x は、断面の微小面積要素 dA と、微小要素の x 軸からの距離 y を用いて以下のように書ける。

${\displaystyle I_{x}=\int _{A}y^{2}\mathrm {d} A}$

同様に、 y 軸に関する断面二次モーメント I_y は以下のように書ける。

${\displaystyle I_{y}=\int _{A}x^{2}\mathrm {d} A}$

図心を通る X 軸に関する断面二次モーメント I_X と、 X 軸から距離 b だけ移動した x 軸に関する断面二次モーメント I_x の関係は、図形の断面積 A を用いると以下のようになる（平行軸の定理^[1]）

${\displaystyle I_{x}=I_{X}+b^{2}A}$

図心を通る軸から断面の最も離れた点までの距離で、図心を通る断面二次モーメント I_x を割った値を断面係数と呼び、はりに生じる最大曲げ応力を計算する際に用いる。

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断面二次極モーメント（polar moment of inertia of area）は、原点から微小面積 dA までの距離を r として以下のように書ける。

${\displaystyle I_{\mathrm {p} }=\int _{A}r^{2}\mathrm {d} A}$

ここで、同じ原点からの x 軸、 y 軸に関する断面二次モーメント I_x 、 I_y を用いると次の式が成り立つ。

${\displaystyle I_{\mathrm {p} }=I_{x}+I_{y}}$

断面二次極モーメントは丸棒のねじりを計算する際などに用いられる。横弾性係数G と断面二次極モーメントの積はねじり剛性と呼ばれ、ねじり剛性GI_p の丸棒にトルクT を加えると、部材長さlの丸棒のねじれ角θは

${\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{GI_{\mathrm {p} }}}}$

で与えられる。

次式で与えられるZ_p を極断面係数^[1]といい、断面に生じるせん断応力の最大値τ_max を求める際に用いられる。

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }:={\frac {I_{\mathrm {p} }}{d/2}}}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {T}{Z_{\mathrm {p} }}}}$

ここでd は直径である。

例として、直径d の中実丸棒の断面二次極モーメントI_p と極断面係数Z_p は以下となる。

${\displaystyle I_{\mathrm {p} }={\frac {\pi d^{4}}{32}}}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }={\frac {\pi d^{3}}{16}}}$