最大最小不等式 From Wikipedia, the free encyclopedia 数学における最大最小不等式（さいだいさいしょうふとうしき、英: max-min inequality）とは次の不等式のことをいう：任意の空でない函数 f : Z × W → R {\displaystyle f\colon Z\times W\to \mathbb {R} } に対し sup z ∈ Z inf w ∈ W f ( z , w ) ≤ inf w ∈ W sup z ∈ Z f ( z , w ) {\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)\,} が成り立つ。等号が成り立つとき、 f , W , Z {\displaystyle f,W,Z} は強最大最小性（あるいは鞍点性）を満たすという。 g ( z ) ≜ inf w ∈ W f ( z , w ) {\displaystyle g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)} と定義する。 ⟹ g ( z ) ≤ f ( z , w ) , ∀ z , w {\displaystyle \implies g(z)\leq f(z,w),\forall z,w} ⟹ sup z g ( z ) ≤ sup z f ( z , w ) , ∀ w {\displaystyle \implies \sup _{z}g(z)\leq \sup _{z}f(z,w),\forall w} ⟹ sup z inf w f ( z , w ) ≤ sup z f ( z , w ) , ∀ w {\displaystyle \implies \sup _{z}\inf _{w}f(z,w)\leq \sup _{z}f(z,w),\forall w} ⟹ sup z inf w f ( z , w ) ≤ inf w sup z f ( z , w ) ◻ {\displaystyle \implies \sup _{z}\inf _{w}f(z,w)\leq \inf _{w}\sup _{z}f(z,w)\qquad \square } 関連項目 最小最大定理（英語版） 参考文献 Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press "Max Min of function less than Min max of function", http://math.stackexchange.com/q/186697/61602 Related Articles
と定義する。
