本質的上限と本質的下限

数学における本質的上限（ほんしつてきじょうげん、英: essential supremum）と本質的下限（ほんしつてきかげん、英: essential infimum）の概念は、上限と下限の概念と関連するものであるが、測度論においては前者の方がより意義深いものとなる。なぜならば測度論においては、ある集合のすべての元に対しては有効ではないが、ほとんどすべての元に対して、すなわち測度 0 の集合に含まれないすべての元に対して有効となるような議論が行われるからである。

$(X,\Sigma ,\mu )$ を測度空間とし、 $f\colon X\to \mathbb {R}$ を必ずしも可測ではない $X$ 上の実数値関数とする。ある実数 $a$ が $f$ の上界であるとは、 $X$ 内のすべての $x$ に対して $f(x)\leq a$ が成立すること、すなわち、集合

\{x\in X\mid f(x)>a\}

が空であることを言う。それと比べて、 $a$ が本質的上界であるとは、集合

\{x\in X\mid f(x)>a\}

が測度 0 の集合に含まれること（あるいは可測関数の場合はその測度が 0 であること）を言う。すなわち、 $X$ 内のほとんど至る所の $x$ に対して $f(x)\leq a$ が成立することを言う。すると、最小の上界として $f$ の上限が定義されるように、本質的上限は、最小の本質的上界として定義される。

より正式に言うと、 $f$ の本質的上限 $\operatorname {ess\,sup} f$ は、その本質的上界の集合 $\{a\in \mathbb {R} \mid \mu (\{x\in X\mid f(x)>a\})=0\}$ が空でないときには

\operatorname {ess\,sup} f=\inf\{a\in \mathbb {R} \mid \mu (\{x\in X\mid f(x)>a\})=0\}

で定義され、空であるときには $\operatorname {ess\,sup} f=\infty$ で定義される。

全く同様に、本質的下限は最大の本質的下界として定義される。すなわち、本質的下界の集合が空でないときには

\operatorname {ess\,inf} f=\sup\{b\in \mathbb {R} \mid \mu (\{x\in X\mid f(x)<b\})=0\}

で定義され、空であるときには $\operatorname {ess\,inf} f=-\infty$ で定義される。

例

実数直線上のルベーグ測度と、それに対応する $\sigma$ -代数 $\Sigma$ を考える。関数 $f$ を

f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}

で定義する。この関数上限（最大値）は 5 であり、下限（最小値）は −4 である。しかし、それらの値は測度ゼロの集合 {1} および {−1} の上でしか取られない。その他のすべての集合上では、この関数の値は 2 である。したがって、この関数本質的上限と本質的下限は、ともに 2 である。

別の例として、次の関数

f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

を考える。ここで $\mathbb {Q}$ は有理数の集合を表す。この関数上下ともに非有界であるため、その上限と下限はそれぞれ $\infty$ と $-\infty$ になる。しかし、ルベーグ測度の観点からすると、有理数の集合は測度 0 である。したがって、本当に重要なのはその集合の補集合上で起こっていることである。そこでの値は $\arctan x$ となっているため、この関数本質的上限は $\pi /2$ であり、本質的下限は $-\pi /2$ である。

最後に、すべての実数 $x$ に対して定義される関数 $f(x)=x^{3}$ を考える。その本質的上限は $\infty$ であり、本質的下限は $-\infty$ である。

基本的性質

一般に以下の不等式関係が成り立つ：

\inf f\leq \operatorname {ess\,inf} f\leq \operatorname {ess\,sup} f\leq \sup f

定義域 $X$ $X$ の測度 $\mu (X)$ $\mu (X)$ が正であり、 $f,g$ $f,g$ が可測関数であるとき、以下が成り立つ：
- $\operatorname {ess\,sup} (f+g)\leq \operatorname {ess\,sup} f+\operatorname {ess\,sup} g$ （三角不等式）
- $\operatorname {ess\,sup} (fg)\leq (\operatorname {ess\,sup} f)(\operatorname {ess\,sup} g)$ （ただし両辺の各項がともに非負であるとき）
- 定数 $c\geq 0$ に対して $\operatorname {ess\,sup} (cf)=c\cdot \operatorname {ess\,sup} f$
ほとんど至る所で $f(x)\leq \operatorname {ess\,sup} f$ および $f(x)\geq \operatorname {ess\,inf} f$ が成り立つ。
$f$ と $g$ がほとんど至る所等しい（すなわち $\mu (\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\})=0$ である）ならば、それらの本質的上限および本質的下限は互いに一致する：

\operatorname {ess\,sup} f=\operatorname {ess\,sup} g,\quad \operatorname {ess\,inf} f=\operatorname {ess\,inf} g

応用と関連概念

$L \infty$ 空間と本質的上限ノルム

関数解析学およびルベーグ積分論において、本質的上限は $L^{\infty }$ ノルム（本質的上限ノルム）を定義するために用いられる。可測関数 $f$ に対し、その $L^{\infty }$ ノルムは

{\mathopen {\Vert }}f{\mathclose {\Vert }}_{L^{\infty }}:=\operatorname {ess\,sup} {\mathopen {|}}f(x){\mathclose {|}}

で定められる。 ${\mathopen {\Vert }}f{\mathclose {\Vert }}_{L^{\infty }}<\infty$ を満たす関数は本質的に有界（essentially bounded）であると呼ばれ、ほとんど至る所等しい関数同士を同一視した同値類の空間 $L^{\infty }(X,\mu )$ （ $L p$ 空間の $p=\infty$ の場合）は、このノルムに関してバナッハ空間となる。