根と係数の関係

二次式

x についての二次式

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

の根を x = α, β とする。因数定理より

${\displaystyle f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )}$

であるから、展開して係数を比較すると

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta =-{\cfrac {b}{a}}\\[7pt]\alpha \beta ={\cfrac {c}{a}}\end{cases}}}$

を得る。

初等数学において、因数定理や代数学の基本定理を習っていない場合、二次方程式の解の公式から解と係数の関係を導くという方法がとられることがある。

三次式

x についての三次式

${\displaystyle g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

の根を x = α, β, γ とする。因数定理より

${\displaystyle f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )}$

であるから、展開して係数を比較すると

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta +\gamma =-{\cfrac {b}{a}}\\[7pt]\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ={\cfrac {c}{a}}\\[7pt]\alpha \beta \gamma =-{\cfrac {d}{a}}\end{cases}}}$

が三次の場合として成り立つ。

四次式

x についての四次式

${\displaystyle g(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$

の根を x = α, β, γ, δ とする。因数定理より

${\displaystyle f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )}$

であるから、展開して係数を比較すると

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta +\gamma +\delta =-{\cfrac {b}{a}}\\[7pt]\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta ={\cfrac {c}{a}}\\[7pt]\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =-{\cfrac {d}{a}}\\[7pt]\alpha \beta \gamma \delta ={\cfrac {e}{a}}\end{cases}}}$

が四次の場合として成り立つ。

高次

5次以上の多項式には根の公式は存在しない（アーベル-ルフィニの定理）が、同様に根と係数の関係が成り立つ。