正規拡大

L/K の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。K^a を K の L を含む代数的閉包とする。

• K 上恒等写像であるような L の K^a へのすべての埋め込み は σ(L) = L を満たす。言い換えると、σ は L の K-同型である。
• L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。（多項式は L で 分解する (split) と言う。）

L が K の有限次分離拡大（例えば、これは K が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる）であれば、次の性質もまた同値である。

• 根が K の元とともに L を生成するような既約多項式が存在する。（L はその多項式の分解体であると言う。）

例えば、${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の正規拡大である。なぜならば、x² − 2 の分解体だからである。一方、${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 x³ − 2 はその中に1つの根（すなわち ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$）をもつが、すべてではない（2 の虚3乗根をもたない）からである。

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。代数的数体 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の代数的閉包であって ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ を含む。一方、

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}$

であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}\sigma$ :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{array}}}

は ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ の ${\displaystyle \mathbb {A} }$ への埋め込みであって、${\displaystyle \mathbb {Q} }$ への制限は恒等写像である。しかしながら、σ は ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ の同型写像ではない。

任意の素数 p に対して、拡大 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ は次数 p(p − 1) の正規拡大である。これは x^p − 2 の分解体である。ここで ${\displaystyle \zeta _{p}}$ は任意の 1 の原始 p 乗根を表す。体 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ は ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ の正規閉包（下記参照）である。

L を体 K の拡大とすると、

• L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
• E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。