正規順序積

a_α^†をボーズ粒子またはフェルミ粒子の生成演算子、a_αを対応する消滅演算子とする。このとき、a_α^†とa_αからの積からなる単項式について、生成演算子の右側に消滅演算子がくるように並べ替えた積を正規順序積と呼ぶ。但し、並べ替えにおいては、生成演算子同士、消滅演算子同士については順序を変えないものとする。また、フェルミ粒子の演算子同士の順序の入れ替えについては、その回数に応じて、符号を変えるものとし、それ以外の入れ替えについては、符号を変えないものとする。 例えば、a_α^†、a_αをボーズ粒子の生成消滅演算子とすると

${\displaystyle N[a_{\alpha }a_{\beta }^{\dagger }]=a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }}$

${\displaystyle N[a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }a_{\gamma }^{\dagger }]=a_{\alpha }^{\dagger }a_{\gamma }^{\dagger }a_{\beta }}$

となる。

一方、フェルミ粒子の生成消滅演算子とすると

${\displaystyle N[a_{\alpha }a_{\beta }^{\dagger }]=-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }}$

${\displaystyle N[a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }a_{\gamma }^{\dagger }]=-a_{\alpha }^{\dagger }a_{\gamma }^{\dagger }a_{\beta }}$

である。

この単項式について定義された正規順序積は、線形性と分配法則を保つ形で生成消滅演算子の線形和や積に拡張される。

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

スピン0の中性ボーズ粒子は実スカラー場φ(x)で記述される。 このとき、φ(x)は3次元運動量空間での積分

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2k_{0}}}k_{0}(a(k)e^{ikx}+a^{\dagger }(k)e^{-ikx})}$

で表現できる。但し、

${\displaystyle k_{0}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}},\,kx=k_{0}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$

である。このとき、

${\displaystyle \phi (x)=\phi ^{(+)}(x)+\phi ^{(-)}(x)}$

${\displaystyle \phi ^{(+)}(x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2k_{0}}}k_{0}a(k)e^{ikx},\,\phi ^{(-)}(x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2k_{0}}}k_{0}a^{\dagger }(k)e^{-ikx}}$

と消滅演算子だけを含むφ⁽⁺⁾(x)と生成演算子だけを含むφ^(-)(x)に分けると、

${\displaystyle N[\phi ^{(+)}(x)\phi ^{(-)}(y)]=N[\phi ^{(-)}(y)\phi ^{(+)}(x)]=\phi ^{(-)}(x)\phi ^{(+)}(y)}$

${\displaystyle N[\phi (x)\phi (y)]=N[(\phi ^{(+)}(x)+\phi ^{(-)}(x))(\phi ^{(+)}(y)+\phi ^{(-)}(y))]=\phi ^{(+)}(x)\phi ^{(+)}(y)+\phi ^{(-)}(x)\phi ^{(+)}(y)+\phi ^{(-)}(y)\phi ^{(+)}(x)+\phi ^{(-)}(x)\phi ^{(-)}(y)}$

が成り立つ。

消滅演算子が真空状態|0〉に作用するとゼロになるともに、生成演算子が〈0|に作用するとゼロになる。したがって、生成消滅演算子から構成される演算子Oの正規順序積は、恒等演算子やその定数倍である場合を除いて、その真空期待値〈0|N[O]|0〉は必ずゼロとなる。