直交関数列

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数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。

定義

区間 $(α, β) (- \infty \leq α < β \leq \infty)$ 上で定義された複素数値関数 $f (x)$ , $g (x)$ に対し

\langle f,g\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g^{\ast }(x)\,dx

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

$(α, β)$ 上の複素値関数の列 ${φ n (x)}$ が、この内積に対し、互いに直交し、

\langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}^{\ast }(x)\,dx=0\quad (m\neq n)

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが $1$ 、すなわち

\|\phi \|^{2}=\int _{\alpha }^{\beta }|\phi _{n}(x)|^{2}\,dx=1

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列 ${φ n (x)}$ とある関数 $w (x) \geq 0$ に対し、 ${(w (x)) 1/2 φ n (x)}$ が直交関数列をなし、

\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)w(x)\,dx=0\quad (m\neq n)

であるとき、この関数列を重み（荷重） $w (x)$ の直交関数列という。

例

三角関数形

余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

$\int _{0}^{\pi }1\,dx=\pi$

$\int _{0}^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )$

$\int _{0}^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )$

正弦関数系

正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

$\int _{0}^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )$

三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

$\int _{-\pi }^{\pi }1\,dx=2\pi$

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=\pi \delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )$

$\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )$

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (m,n=1,2,\dots )$

直交多項式

→詳細は「直交多項式」を参照

エルミート多項式

関係式

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\quad (n=0,1,2,\dots )

　　

で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e^−x²/2 の直交関数系であり、

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}H_{m}(x)H_{n}(x)\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )

　　

を満たす。

ルジャンドル多項式

関係式

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )

　　

で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )

　　

を満たす。

ラゲール多項式

関係式

L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\quad (n=0,1,2,\dots )

　　

で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e^−x の直交関数系を成し、

\int _{0}^{\infty }e^{-x}L_{m}(x)L_{n}(x)\,dx=\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )

　　

を満たす。

チェビシェフ多項式

関係式

T_{n}(x)=\cos {(n\operatorname {arccos} x)}\quad (n=0,1,2,\dots )

　　

で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^−1/2 の直交関数系を成し、

\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}T_{m}(x)T_{n}(x)\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )

　　

を満たす。

ゲーゲンバウアー多項式

関係式

C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]

　　

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^{α − 1/2} の直交関数系を成し、

\int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}C_{m}^{(\alpha )}(x)C_{n}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )

　　

を満たす。

完備関数列

直交関数列で、

\int _{\alpha }^{\beta }f(x)e_{n}(x)dx=0\quad (n=1,2,\dots )\quad \Longrightarrow \quad f(x)=0

となるもののことを言う。

例

$\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\dots ,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\dots \}$ （三角関数列）

関連項目

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