直積集合

トランプのカード

直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは {♠, ♥, ♦, ♣} という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。

たとえば、ランク × スーツ という直積集合は、

{(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}

という集合であり、スーツ × ランク という直積集合は、

{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

という集合である。順序対の定義より、(A, ♠)≠(♠, A)、(A, ♣)≠(♣, A)、(K, ♠)≠(♠, K)、… であるから、これら 2 つの直積集合には、共通の元は一つも含まれていない。

2次元直交座標系

有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ℝ×ℝ（ℝ は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。

有限個の集合の直積集合

n 個の集合 A₁ , A₂ , … , A_n の直積集合は次式によって定義される。ただし、(a₁, a₂, … , a_n) は a₁, a₂, … , a_n の順序付けられた n-組である^[2]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}A_{i}&=A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\\&=\{(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1},\ a_{2}\in A_{2},\ \cdots \ ,\ a_{n}\in A_{n}\}\\\end{aligned}}}$

集合族の直積集合

集合 Λ によって添数づけられた集合族 {A_λ}_λ∈Λ の直積集合は、写像の集合

${\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{a:\Lambda \to \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\ {\Bigg |}\ \forall \lambda \in \Lambda \left(\ a(\lambda )\in A_{\lambda }\ \right)\right\}}$

と定義される。これはまた a_λ ≔ a(λ) と置けば $${\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda \left(\ a_{\lambda }\in A_{\lambda }\ \right)\}}$$ と書くこともできる。Λ が有限ならばこれは先に述べた有限直積と一致する^{[2][注釈 1]}。

誤解の虞のない場合には ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}}$ や ${\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}$ は省略して ${\displaystyle \prod A_{i}}$ や ${\displaystyle \prod A_{\lambda }}$ とも表される。

標準射影

直積 ∏ A_λ に対し、各 A_λ をこの直積の直積因子と呼ぶ。各直積因子 A_μ (μ ∈ Λ) に対し、標準的に定まる全射 $${\displaystyle \pi _{\mu }\ \colon \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\to A_{\mu };\quad (a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mapsto a_{\mu }}$$ を第 μ-成分への射影あるいは簡単に第 μ-射影などと呼ぶ。

選択公理

集合族 {A_λ}_λ∈Λ に対して、次の命題は明らかに真である。

${\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A_{\lambda }=\varnothing )\implies \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\varnothing }$

一方で、この命題の裏

${\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda (A_{\lambda }\neq \varnothing )\implies \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\neq \varnothing }$

は選択公理（または選出公理）といわれる^[3]。

集合算

直積の分配律

集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$^[4]

が成り立つが、この式の交叉を合併に置き換えた式は一般には正しくない:

${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D).}$

実は右辺は

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$

と書くことができる。差に関しては等式

${\displaystyle (A\times C)\smallsetminus (B\times D)=[A\times (C\smallsetminus D)]\cup [(A\smallsetminus B)\times C]}$

が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的であることが示せる^[5]:

• ${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),}$
• ${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}$
• ${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),}$
• ${\displaystyle \complement (A\times B)=(\complement A\times \complement B)\cup (\complement A\times B)\cup (A\times \complement B),}$^[4]

ここで ∁A は A の補集合である。

一般に

• ${\displaystyle \left(\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)\cap \left(\prod _{\mu \in \Lambda }B_{\mu }\right)=\prod _{\lambda \in \Lambda }(A_{\lambda }\cap B_{\lambda })}$
• ${\displaystyle \left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)\times \left(\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu }\right)=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\times B_{\mu })}$
• ${\displaystyle \left(\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)\times \left(\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu }\right)=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\times B_{\mu })}$
• ${\displaystyle \left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)\cap \left(\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu }\right)=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cap B_{\mu })}$
• ${\displaystyle \left(\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)\cup \left(\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu }\right)=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cup B_{\mu })}$

などが成り立つ^[6]。

ほかに、部分集合に関しては以下の性質がある:

${\displaystyle A\subseteq B\implies A\times C\subseteq B\times C,}$

${\displaystyle A\neq \emptyset \land B\neq \emptyset \implies [A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D].}$^[7]

濃度

有限集合 A, B の直積 A × B の濃度は、|A × B| = |A| ⋅ |B| で与えられる。これは、数え上げに関する積の原理から導くことができる。

一例として、

A = {0, 1, 2, 3} （3以下の自然数の集合）

B = {1, 3} （3以下の奇数の集合）

このとき、|A| = 4, |B| = 2, A × B = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)} であって、実際に |A × B| = 8 = 4 × 2 = |A|⋅|B| であることが確認できる。

一般に、全ての集合 A, B と全ての集合族 {A_λ}_λ∈Λ と全ての自然数 n について、以下の等式が成り立つ。

• ${\displaystyle |A\times B|=|A|\cdot |B|}$
• ${\displaystyle \left|\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right|=\prod _{\lambda \in \Lambda }|A_{\lambda }|}$
• ${\displaystyle \left|A^{n}\right|=|A|^{n}}$
• ${\displaystyle \left|A^{B}\right|=|A|^{|B|}}$

普遍性

直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる：

直積の普遍性

任意の集合 Y と任意の写像の族 (f_i: Y → X_i)_i∈I が与えられたとき、写像 f: Y → X ≔ ∏
i∈I X_i で f_i = π_i ∘ f を満たすものがただ一つ存在する。

圏論の言葉で言えば、集合の直積は集合の圏における積である。