結合エントロピー

確率変数 ${\displaystyle X}$ があるとき、そのエントロピー ${\displaystyle H(X)}$ は ${\displaystyle X}$ の値の不確かさを表す。${\displaystyle X}$ について、イベント ${\displaystyle x}$ が発生する確率が ${\displaystyle p_{x}}$ であるとき、${\displaystyle X}$ のエントロピーは次のようになる。

${\displaystyle H(X)=-\sum _{x}p_{x}\log _{2}(p_{x})\!}$

もう1つの確率変数 ${\displaystyle Y}$ では、イベント ${\displaystyle y}$ が発生する確率が ${\displaystyle p_{y}}$ であるとする。${\displaystyle Y}$ のエントロピーは ${\displaystyle H(Y)}$ で表される。

ここで、${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ が相互に関連したイベントを表しているとき、系全体のエントロピーは ${\displaystyle H(X)+H(Y)}$ にはならない。例えば、1から8までの整数を1つ選ぶとし、それぞれの整数が選ばれる確率が同じとする。${\displaystyle X}$ は選んだ整数が奇数かどうかを表し、${\displaystyle Y}$ は選んだ整数が素数かどうかを表すとする。1から8の整数のうち半分は偶数であり、同じく半分は素数である。したがって ${\displaystyle H(X)=H(Y)=1}$ となる。しかし、選んだ整数が偶数であるとわかっている場合、それが素数である場合は4つのうち1つしかない。つまり、2つの確率変数の分布は関連している。従って系全体のエントロピーは2ビットよりも小さくなる。

ここで、考えられる結果の「対」 ${\displaystyle (x,y)}$ を全て考慮する。

それぞれの対の発生確率を ${\displaystyle p_{x,y}\quad }$ としたとき、結合エントロピーは次のようになる。

${\displaystyle H(X,Y)=-\sum _{x,y}p_{x,y}\log _{2}(p_{x,y})\!}$

上記の例では、1を素数と見なしていない。従って、結合確率分布は次のようになる。

${\displaystyle P({\text{even}},{\text{prime}})=P({\text{odd}},{\text{not prime}})=1/8}$

${\displaystyle P({\text{even}},{\text{not prime}})=P({\text{odd}},{\text{prime}})=3/8}$

以上から、結合エントロピーは次のようになる。

${\displaystyle -2{\frac {1}{8}}\log _{2}(1/8)-2{\frac {3}{8}}\log _{2}(3/8)\approx 1.8~{\text{bits}}}$