自己認識論理

自己認識論理の意味論は推論の展開に基づくもので、命題論理のそれと類似した役割を持つ。命題論理モデルでは個々の原子項の真偽を指定するが、この拡張においては個々の論理式 ${\displaystyle \Box F}$ の真偽を指定する。特に自己認識論理式 T の展開は、${\displaystyle T}$ に含まれる全ての部分論理式 ${\displaystyle \Box F}$ についてこの指定をする。${\displaystyle \Box }$ を含む全ての部分論理式は真偽のどちらかなので、この指定は ${\displaystyle T}$ を命題論理式として扱うことを可能にする。特にこの条件において、${\displaystyle T}$ が ${\displaystyle F}$ を内含するかどうかは命題論理の規則でチェック可能である。初期の前提が展開であるため、部分論理式 ${\displaystyle F}$ が内含されるのは、${\displaystyle \Box F}$ が初期の前提として真とされた場合のみである。

例えば、論理式 ${\displaystyle T=\Box x\rightarrow x}$ において、ボックス部分論理式は ${\displaystyle \Box x}$ のひとつだけである。従って、考慮すべき展開は真と偽の2種類だけである。実際には、以下のようになる。

${\displaystyle \Box x}$ を偽と仮定した場合

${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$ は ${\displaystyle \neg \Box x\vee x}$ と等価であり、${\displaystyle \neg \Box x}$ は真とされているので、${\displaystyle T}$ は（仮定が成り立つ限り）恒に真である。従って ${\displaystyle x}$ は内含されない。${\displaystyle \Box x}$ が偽ということは ${\displaystyle x}$ は既知ではないので、この結論が暗に裏付けられる。従って、${\displaystyle \Box x}$ が偽であるという前提は展開である。

${\displaystyle \Box x}$ を真と仮定した場合

${\displaystyle T}$ は ${\displaystyle x}$ を内含する。従って ${\displaystyle \Box x}$ が真であるという当初の前提に含まれる暗黙の前提、すなわち ${\displaystyle x}$ が真であると知られていることは充足している。結果として、これはもう1つの展開である。

従って論理式 ${\displaystyle T}$ は2つの展開を持ち、その1つでは ${\displaystyle x}$ は未知であり、もう1つでは ${\displaystyle x}$ は既知である。後者の場合、${\displaystyle \Box x}$ が真であるという初期前提が ${\displaystyle x}$ が真であることの唯一の裏づけであるため、直観的でない。言い換えれば、これは自立した仮定である。このような自立した信念を扱う論理を not strongly grounded と言い、そうでない論理を strongly grounded と言う。strongly grounded な自己認識論理も存在する。

• 非単調論理
• 様相論理学

• G. Gottlob (1995). Translating default logic into standard autoepistemic logic. Journal of the ACM, 42:711-740.
• T. Janhunen (1998). On the intertranslatability of autoepistemic, default and priority logics. In Proceedings of the Sixth European Workshop on Logics in Artificial Intelligence (JELIA'98), pages 216-232.
• W. Marek and M. Truszczynski (1991). Autoepistemic logic. Journal of the ACM, 38(3):588-619.
• R. C. Moore (1985). Semantical considerations on nonmonotonic logic. Artificial Intelligence, 25:75-94.
• I. Niemelä (1988). Decision procedure for autoepistemic logic. In Proceedings of the Ninth International Conference on Automated Deduction (CADE'88), volume 310 of Lecture Notes in Computer Science, pages 675-684. Springer.