転置行列

m × n行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$

の転置行列 ^tA は

${\displaystyle {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{m,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$

で定義される。このとき ^tA は n × m行列である。

A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。

• 転置の転置は元の行列を与える^[1]（対合性）：^{t t}A = A
• 和の転置は転置の和を与える^[1]（加法性）：^t(A + B) = ^tA + ^tB
• 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える^[1]（斉次性）：^t(kA) = k ^tA
  • 斉次性および加法性から線型性が成り立つ：^t(kA + lB) = k ^tA + l ^tB
• 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える^[1]：^t(AB) = ^tB ^tA

正方行列の性質

• 逆行列の転置は転置の逆行列を与える^[2]：^t(A⁻¹) = (^tA)⁻¹
• n 次正方行列 A の跡を tr A で表すと tr A = tr ^tA
• n 次正方行列 A の行列式を det A で表すと det A = det ^tA^[3]
• n 次実正方行列 A, n 次ベクトル x, y に対して、標準内積を ⟨·, ·⟩ で表すと、⟨Ax, y⟩ = ⟨x, ^tAy⟩

転置により定義される特別な行列として以下がある^[4]。

• 対称行列：転置が元の行列と等しい (^tA = A）
• 反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（^tA = −A)
• 直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（^tA = A⁻¹)

これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。

m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 ^tA には f の転置写像 ^tf が対応する。これは W の双対空間 W^* から V の双対空間 V^* への線形写像 ^tf : W^* → V^* で、y^* ∈ W^* に対して

${\displaystyle {}^{t}f=y^{*}\circ f}$

によって定義される^[5]。この定義は y ∈ W と y^* ∈ W^* の自然なペアリングを y^*(y) = ⟨y, y^*⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して

${\displaystyle \langle f(x),y^{*}\rangle =\langle x,{}^{t}f(y^{*})\rangle }$

という関係式によって書き直すこともできる^[6]。