要素内補間

点 p₀ を原点とする、3角形で構成される局所座標系は、基底ベクトル

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {e}}_{u}&={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\{\boldsymbol {e}}_{v}&={\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\\end{aligned}}}$

から得られ、全体座標系への変換行列は、点 p の局所座標系の座標を u_p, v_p 、全体座標系の座標を x_p, y_p, z_p とすると以下の通りとなる。

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+u_{p}{\boldsymbol {e}}_{u}+v_{p}{\boldsymbol {e}}_{v}}$

または成分で表せば、

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}\\y_{eu}&y_{ev}\\z_{eu}&z_{ev}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\end{array}}\right)}$

節点p₀, p₁, p₂ での各値をC₀, C₁, C₂とすると、要素内の点p での値C は

${\displaystyle C=C_{0}+u_{p}(C_{1}-C_{0})+v_{p}(C_{2}-C_{0})}$

と表せる。ここでu_p, v_p は点p の局所座標系での座標である。

• u_p = 0, v_p = 0 の場合には、C = C₀ （p₀ の値）を示す。
• u_p = 1, v_p = 0 の場合には、C = C₁ （p₁ の値）を示す。
• u_p = 0, v_p = 1 の場合には、C = C₂ （p₂ の値）を示す。
• u_p, v_p ≥ 0 かつ u_p + v_p ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。

節点座標がp₀ (0, 0, 0), p₁ (5, 0, 0), p₂ (5, 5, 0) とし、各節点の既知量は、それぞれC₀ = 10, C₁ = 20,C₂ = 30とすると、

1. 重心位置での値

   重心位置p_G の座標は (10/3, 5/3, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、(u_G, v_G ) = (1/3, 1/3) となる。これを補間式にあてはめると C _G = 20 となる。重心位置のため、平均値 (C₀ + C₁ + C₂ ) / 3と同じである。

2. p₁ とp₂ の中点位置座標での値

   p₁ とp₂ の中点位置p₁₂ の全体座標系での座標は (5, 5/2, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標 (u₁₂, v₁₂ ) を求めると、(1/2, 1/2) となる。これを補間式にあてはめると C₁₂ = 25 となる。

4面体で構成される局所座標系は、基底ベクトル (e_u, e_v, e_w ) から得られ、全体座標系への変換行列は、局所座標系の座標をu_p, v_p, w_p と置くと以下の通りとなる。

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+u_{p}{\boldsymbol {e}}_{u}+v_{p}{\boldsymbol {e}}_{v}+w_{p}{\boldsymbol {e}}_{w}}$

または成分で表せば、

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)}$

ただし

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {e}}_{u}={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\&{\boldsymbol {e}}_{v}={\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\&{\boldsymbol {e}}_{w}={\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{0}\end{aligned}}}$

である。

全体座標系から局所座標系への変換は、局所座標系から全体座標系への変換行列の逆行列を求めることで得られる。

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)^{-1}\left(\left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)\right)}$

節点p₀, p₁, p₂, p₃ での各値をC₀, C₁, C₂, C₃ とすると、点p の値C は

${\displaystyle C=C_{0}+u_{p}(C_{1}-C_{0})+v_{p}(C_{2}-C_{0})+w_{p}(C_{3}-C_{0})}$

と表せる。ここでu_p, v_p, w_p は点p の局所座標系での座標である。

• u = 0, v = 0, w = 0 の場合には、C = C₀ （p₀ の値）を示す。
• u = 1, v = 0, w = 0 の場合には、C = C₁ （p₁ の値）を示す。
• u = 0, v = 1, w = 0 の場合には、C = C₂ （p₂ の値）を示す。
• u = 0, v = 0, w = 1 の場合には、C = C₃ （p₃ の値）を示す。
• u, v, w ≥ 0 かつ u + v + w ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。

節点座標がp₀ (0, 0, 0), p₁ (5, 0, 0), p₂ (5, 5, 0), p₃ (0, 0, 5)、各節点の既知量はそれぞれC₀ = 10, C₁ = 20, C₂ = 30, C₃ = 40 とする。

このとき、重心位置p_G での座標は、(5/2, 5/4, 5/4) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、 (u_G, v_G, w_G ) = (1/4, 1/4, 1/4)となる。これを補間式にあてはめるとC = 25 となる。重心位置のため、平均値 (C₀ + C₁ + C₂ + C₃) / 4 と同じになる。

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