重複順列

重複順列の定義の仕方は（同値なものが）いくつかある。

定義 1

位数 n (n ∈ ℕ^⁎) の有限集合 E と非負整数 k が与えられたとき、E の元からなる k-重複順列（または n 個の元から重複を許して k 個選んで作られる k-項順列）とは、E の元を要素とする k-順序組（k-項の有限列）を言う。

定義 2

位数 n (n ∈ ℕ^⁎) の有限集合 E と非負整数 k が与えられたとき、E の元からなる k-重複順列とは、集合 {1, 2, …, k} から E への写像のことを言う。

定理

位数 n の有限集合 E と自然数 k に対して、E の元からなる k-重複順列全体の成す集合は有限であり、その位数は n^k で与えられる。

証明

• k-組として見れば、E の元からなる k-重複順列全体の成す集合は E^k = E × E × … × E に他ならない。故にその位数に関して |E^k| = |E|^k = n^k は明らか。
• {1, 2, …, k} から E への写像と見れば、1 の行き先が n 通り、2 の行き先が n 通り、……、k の行き先が n 通りであるから、相異なる写像は n × n × … × n = n^k 通りである。