離散付値

離散付値 ${\displaystyle \nu }$ をもったすべての体に対して、${\displaystyle k}$ の部分環

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}:=\left\{x\in k\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

を考えることができる。これは離散付値環である。逆に、離散付値環 ${\displaystyle A}$ 上の付値 ${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ は商体 ${\displaystyle {\text{Quot}}(A)}$ 上の付値に拡張でき、離散付値体 ${\displaystyle k}$ を与える。この体から得られる離散付値環 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ はちょうど ${\displaystyle A}$ である。