Adjungiertes Vektorbündel

Sei ${\displaystyle G}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Lie-Gruppe mit ${\displaystyle n}$-dimensionaler Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (entweder ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$) und ${\displaystyle p\colon E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel. (In der Anwendung wird ${\displaystyle B}$ dabei üblicherweise passend zur Lie-Gruppe als glatte Mannigfaltigkeit gewählt, wodurch ${\displaystyle E}$ ebenfalls eine glatte Mannigfaltigkeit wird.) Es gibt eine kanonische Darstellung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, genannt die adjungierte Darstellung ${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\rightarrow \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})\cong \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {K} )}$. Das adjungierte Vektorbündel ist das balancierte Produkt:^[1]

${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}:=(E\times {\mathfrak {g}})/\sim }$

mit ${\displaystyle (e\cdot g,x)\sim (e,\operatorname {Ad} _{g}(x))}$ für alle ${\displaystyle e\in E}$, ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle g\in G}$. Dabei ist die Abbildung ${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Ad} (E)\twoheadrightarrow B,[(e,x)]\mapsto p(e)}$ tatsächlich ein Vektorbündel.

Ist ${\displaystyle f\colon B\rightarrow {\mathcal {B}}G}$ die klassifizierende Abbildung des ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündels ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$, also mit ${\displaystyle E\cong f^{*}{\mathcal {E}}G}$, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}\operatorname {Ad} \circ f\colon B\rightarrow \operatorname {BSL} _{n}(\mathbb {K} )}$, wobei ${\displaystyle \operatorname {BSL} _{n}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {BSO} (n)}$ der klassifizierende Raum von SO(n) und ${\displaystyle \operatorname {BSL} _{n}(\mathbb {C} )\cong \operatorname {BSU} (n)}$ der klassifizierende Raum von SU(n) ist, die klassifizierende Abbildung des adjungierten Vektorbündels ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E)\twoheadrightarrow B}$, also mit:

${\displaystyle \operatorname {Ad} (E)\cong ({\mathcal {B}}\operatorname {Ad} \circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {K} }^{n}=f^{*}{\mathcal {B}}\operatorname {Ad} ^{*}\gamma _{\mathbb {K} }^{n}=f^{*}\operatorname {Ad} ({\mathcal {E}}G).}$

Es muss daher lediglich das adjungierte Vektorbündel des universellen Hauptfaserbündels verstanden werden.

• Für reelle adjungierte Vektorbündel verschwindet die erste Stiefel-Whitney-Klasse, da sich die klassifizierende Abbildung per Definition von ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}$ auf ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ hebt. (Alternativ ist die Komposition ${\displaystyle \operatorname {det} \circ \operatorname {Ad} }$ konstant und das reelle Determinantenbündel, welches die erste Stiefel-Whitney-Klasse erhält, ist daher trivial.) Äquivalent sind reelle adjungierte Vektorbündel orientierbar.
• Für komplexe adjungierte Vektorbündel verschwindet die erste Chern-Klasse, da sich die klassifizierende Abbildung per Definition von ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$ auf ${\displaystyle \operatorname {BSU} (n)}$ hebt. (Alternativ ist die Komposition ${\displaystyle \operatorname {det} \circ \operatorname {Ad} }$ konstant und das komplexe Determinantenbündel, welches die erste Chern-Klasse erhält, ist daher trivial.)

• Das zurückgezogene Vektorbündel vertauscht mit dem adjungierten Vektorbündel. Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen topologischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sowie ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow Y}$ gilt:

  ${\displaystyle \operatorname {Ad} (f^{*}E)\cong f^{*}\operatorname {Ad} (E).}$

Beweis: Sei ${\displaystyle g\colon Y\rightarrow {\mathcal {B}}G}$ dessen klassifizierende Abbildung mit ${\displaystyle E\cong g^{*}{\mathcal {E}}G}$, dann ist:

${\displaystyle \operatorname {Ad} (f^{*}E)\cong \operatorname {Ad} (f^{*}g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong \operatorname {Ad} ((g\circ f)^{*}{\mathcal {E}}G)\cong ({\mathcal {B}}\operatorname {Ad} \circ g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {K} }^{n}\cong f^{*}({\mathcal {B}}\operatorname {Ad} \circ g)^{*}\gamma _{\mathbb {K} }^{n}\cong f^{*}\operatorname {Ad} (g^{*}{\mathcal {E}}G)\cong f^{*}\operatorname {Ad} (E).}$

Ein glatter Schnitt des adjungierten Vektorbündels ist eine glatte Abbildung ${\displaystyle s\colon B\hookrightarrow \operatorname {Ad} (E)}$, sodass ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {id} _{B}}$ mit der kanonischen Projektion ${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Ad} (E)\twoheadrightarrow B}$. Auf dem adjungierten Vektorbündel kann jedoch zusätzlich die Lie-Klammer benutzt werden: Mit einem weiteren glatten Schnitt ${\displaystyle t\colon B\hookrightarrow \operatorname {Ad} (E)}$ lässt sich ein glatter Schnitt definieren durch:

${\displaystyle [s,t](b)=[s(b),t(b)]}$

für alle ${\displaystyle b\in B}$. Dadurch ist der Vektorraum ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))}$ aller Schnitte in diesem Fall ebenfalls eine Lie-Algebra. Eine zentrale Anwendung hat diese in der Beschreibung von Higgs-Feldern, etwa in den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen. Eine oft hilfreiche Darstellung durch glatte Funktionen ist:

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))\cong \{{\widetilde {s}}\in C^{\infty }(E,{\mathfrak {g}})|\forall e\in E\forall g\in G\colon {\widetilde {s}}(eg)=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}({\widetilde {s}}(e))\}.}$

Ein glatter Schnitt ${\displaystyle s\colon \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))}$ und eine glatte Funktion ${\displaystyle {\widetilde {s}}\in C^{\infty }(E,{\mathfrak {g}})}$ korrespondieren dabei durch:

${\displaystyle s(\pi (e))=[(e,{\widetilde {s}}(e))]}$

für alle ${\displaystyle e\in E}$. Beide Seiten hängen dabei nur von ihrer Projektion ${\displaystyle \pi (e)\in B}$ ab, wobei dafür auf der rechten Seite die an die obige Definition des adjungierten Vektorbündels angepasste Bedingung an die glatte Funktion sorgt. Eine Lie-Klammer von glatten Funktionen gibt es nun direkt mit der Lie-Algebra als Bild durch:

${\displaystyle [{\widetilde {s}},{\widetilde {t}}](e)=[{\widetilde {s}}(e),{\widetilde {t}}(e)]}$

für alle ${\displaystyle e\in E}$. Tatsächlich ist diese Lie-Klammer von glatten Funktionen genau die Übertragung der obigen Lie-Klammer von glatten Schnitten, also ist die Korrespondenz zwischen ihnen ein Lie-Algebren-Homomorphismus. Es gilt ${\displaystyle {\widetilde {[s,t]}}=[{\widetilde {s}},{\widetilde {t}}]}$ wegen:

${\displaystyle [(e,{\widetilde {[s,t]}}(e))]=[s,t](\pi (e))=[s(\pi (e)),t(\pi (e))]={\big [}[(e,{\widetilde {s}}(e))],[(e,{\widetilde {t}}(e))]{\big ]}=[(e,[{\widetilde {s}},{\widetilde {t}}](e))]}$

für alle ${\displaystyle e\in E}$.

Ein Zusammenhang auf dem adjungierten Vektorbündel ist eine Abbildung ${\displaystyle \nabla \colon {\mathfrak {X}}(B)\times \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))}$ (alternativ auch ${\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ durch ${\displaystyle (\nabla s)(X)=\nabla _{X}s}$ mit ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(B)}$ und ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))}$ notiert), welche ${\displaystyle C^{\infty }(B)}$-linear im Vektorfeld und ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear im Schnitt ist sowie die Leibniz-Regel erfüllt. Auf dem adjungierten Vektorbündel kann ebenfalls wieder zusätzlich die Lie-Klammer benutzt werden: Mit einem weiteren Schnitt ${\displaystyle t\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (E))}$ kann zusätzlich eine (nicht automatisch oder immer gültige) Verträglichkeit gefordert werden durch:

${\displaystyle \nabla _{X}[s,t]=[\nabla _{X}s,t]+[s,\nabla _{X}t]}$

für alle ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(B)}$. (Diese Bedingung ist ähnlich zu der eines metrischen Zusammenhangs.) Genau diese Zusammenhänge auf dem adjungierten Vektorbündel entsprechen genau den Zusammenhängen auf dem Hauptfaserbündel:

${\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \{{\text{Lie-Klammer-kompatible Zusammenhänge auf }}\operatorname {Ad} (E)\}.}$

• adjoint bundle auf nLab (englisch)

• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Band 1). Springer, New York 1984, ISBN 978-1-4613-9705-2, doi:10.1007/978-1-4613-9703-8 (englisch).