Banachscher Abbildungssatz

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:^[2]

Gegeben seien Mengen   ${\displaystyle M}$  und  ${\displaystyle N}$  und dazu Abbildungen

  ${\displaystyle {\phi }\colon \,M\to N}$   und   ${\displaystyle {\psi }\colon \,N\to M}$.

Dabei sei   ${\displaystyle {\phi }}$   injektiv.

Dann existieren Mengen   ${\displaystyle M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}}$   mit

 ${\displaystyle M=M_{1}\cup M_{2}}$  und  ${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}=\emptyset }$ 

sowie

 ${\displaystyle N=N_{1}\cup N_{2}}$  und  ${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\emptyset }$ 

derart, dass gilt:

 ${\displaystyle {\phi }(M_{1})=N_{1}}$  und  ${\displaystyle {\psi }(N_{2})=M_{2}}$ 

Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen,^[3] dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung   ${\displaystyle {\phi }\colon \,M\to N}$   fallen gelassen wird.

Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:

Gegeben seien Mengen   ${\displaystyle M}$  und  ${\displaystyle N}$  und dazu Abbildungen

${\displaystyle {\phi }\colon \,M\to N}$   und   ${\displaystyle {\psi }\colon \,N\to M}$  .

Dann existieren Mengen   ${\displaystyle M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}}$   mit

 ${\displaystyle M=M_{1}\cup M_{2}}$  und  ${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}=\emptyset }$ 

sowie

 ${\displaystyle N=N_{1}\cup N_{2}}$  und  ${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\emptyset }$ 

derart, dass gilt:

 ${\displaystyle {\phi }(M_{1})=N_{1}}$  und  ${\displaystyle {\psi }(N_{2})=M_{2}}$ 

Betrachte die Abbildung ${\displaystyle F:{\mathcal {P}}(M)\rightarrow {\mathcal {P}}(M)}$ mit ${\displaystyle F(A):=M\setminus (\psi (N\setminus \phi (A)))}$.

Da ${\displaystyle F}$ monoton ist, besitzt ${\displaystyle F}$ nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt ${\displaystyle M_{1}}$. Es gilt also ${\displaystyle M_{1}=M\setminus (\psi (N\setminus \phi (M_{1})))}$ beziehungsweise äquivalent hierzu

${\displaystyle M\setminus M_{1}=\psi (N\setminus \phi (M_{1}))}$.

Wir setzen nun ${\displaystyle M_{2}:=M\setminus M_{1}}$, ${\displaystyle N_{1}:=\phi (M_{1})}$ und ${\displaystyle N_{2}:=N\setminus N_{1}}$.

Hiermit erhalten wir wie gewünscht ${\displaystyle {\phi }(M_{1})=N_{1}}$ und ${\displaystyle {\psi }(N_{2})=\psi (N\setminus \phi (M_{1}))=M\setminus M_{1}=M_{2}}$.

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.^[4][5][6]