Bateman-Funktion

In der Kernphysik ist die Bateman-Funktion die Lösung für das mathematische Modell einer radioaktiver Zerfallsreihe als gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen, das die Menge ${\displaystyle N_{t}}$ und Aktivitäten in einer Zerfallskette als Funktion der Zeit ${\displaystyle t}$ beschreibt.

Die Parameter sind

• die Anzahl der Isotope (${\displaystyle decaysteps}$), für die die Berechnung durchgeführt werden soll,
• die Anzahl der Zerfallsprodukte, für die die Menge ${\displaystyle N}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ (eben ${\displaystyle N_{t}}$) berechnet werden soll,
• die Zerfallsraten (Halbwertszeit) ${\displaystyle \lambda [i]}$ der einzelnen Isotope ${\displaystyle i}$ oder ${\displaystyle j}$ in der Zerfallskette,
• die anfänglichen Menge an Isotopen ${\displaystyle N_{t=0}}$ und die Menge ${\displaystyle N_{t}}$ an Isotopen zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$,
• ${\displaystyle a[j]}$ die Häufigkeit für eine Zerfallsart (branching ratio) (z. B. ${\displaystyle \alpha }$- oder ${\displaystyle \beta }$-Zerfall, wenn es denn alternative Wege in der Zerfallskette gibt).

Das Modell wurde 1905 von Ernest Rutherford formuliert und die analytische Lösung wurde 1910 von Harry Bateman bereitgestellt.

${\displaystyle N_{t}=\sum _{i=1}^{decaysteps}N_{t=0}[i]\left(\prod _{j=1}^{{decaysteps}-1}{a[j]\lambda }[j]\right)\sum _{j=1}^{decaysteps}{\frac {\mathrm {e} ^{t(-{\lambda }[j])}}{\prod _{n=1}^{decaysteps}{If}[n\neq j,{\lambda }[n]-{\lambda }[j],1]}}}$

Die Lösung des Modells ist auch unter Verwendung des Matrixexponentials einer Matrix, die die Zerfallskonstanten der Mutter- und Tochternuklide enthält, möglich und in Computerprogrammen einfach umsetzbar.^[1]

Die Bateman-Lösung für die gekoppelte Differentialgleichung für exponentielle Zerfallsprozesse wird auch verwendet, um (bio-)chemische oder pharmazeutische Abbauprozesse (auch in der Medizin) quantitativ zu beschreiben.