Bernoullische Annahmen

Vorausgesetzt wird, dass der Balken schlank ist. Seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnittsabmessungen.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken ${\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }$ aus. Dabei steht ${\displaystyle G}$ für das Schubmodul, ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.^[4]

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse.^[4] (Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit ${\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }$ gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht.^[4] (Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit ${\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }$.)

Summarize Timeline Fact Check

In der schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}$^[5]

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)}$^[5]

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}$^[5]

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)}$

mit

• der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
• dem Elastizitätsmodul E
• dem Flächenträgheitsmoment I(x)
• V(x) der Querkraft
• q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit^[5])
• M(x) dem Biegemoment

• m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit^[5])
• φ(x) der Verdrehung
• κ^e(x) der eingeprägten Krümmung
• w(x) der Durchbiegung.