Bernstein-Ungleichung (Analysis)
Die Bernstein-Ungleichungen - benannt nach dem russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein - geben eine obere Schranke an für die Ableitung von Polynomen in einem abgeschlossenen Intervall
From Wikipedia, the free encyclopedia
Die Bernstein-Ungleichungen – benannt nach dem russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein – geben eine obere Schranke an für die Ableitung von Polynomen in einem abgeschlossenen Intervall. Sie werden gebraucht im Bereich Approximationstheorie.
Trigonometrische Polynome
Bernstein betrachtete im Jahr 1912 trigonometrische Polynome n-ten Grades der Form
mit und
Für diese bewies er – allerdings nur für reine Kosinus-Polynome – die folgende Ungleichung.[1]
|
Sei ein trigonometrisches Polynom vom Grad kleiner gleich und die erste Ableitung, dann gilt |
Die dargestellte Form mit Sinus und Kosinus beschrieb der ungarische Mathematiker Leopold Fejér 1914,[2] auch Edmund Landau erwähnte sie später in einem Brief an Bernstein.[3] Alternative Beweise der Ungleichung zeigen Marcel Riesz 1914[4][5] sowie George Pólya und Gábor Szegő 1925.[6]
Diese Bernstein-Ungleichung ist hilfreich beim Beweis einer Markow-Ungleichung.
Allgemeine Polynome
Die Bernstein-Ungleichung lässt sich verallgemeinern auf allgemeine Polynome in der komplexen Ebene.
|
Sei ein Polynom vom Grad auf den komplexen Zahlen und die erste Ableitung. Dann gilt auf dem Einheitskreis : |
Diese Ungleichung wiederum kann man verallgemeinern auf höhere Ableitungen.
|
Sei ein Polynom vom Grad auf den komplexen Zahlen, die -te Ableitung. Dann gilt auf dem Einheitskreis : |
