Bertrandsches Postulat

Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}$ mindestens eine Primzahl ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle n<p<2\,n}$ existiert.

Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies.^[1]

Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später.^[2] Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, der dabei auch Ramanujan-Primzahlen einführte.^[3] 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.

Ramanujan bewies eine Verallgemeinerung, die Existenz von Ramanujan-Primzahlen ${\displaystyle R_{n}}$, so dass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen.