Bisimpliziale Menge

Eine bisimpliziale Menge ist ein simpliziales Objekt in der Kategorie der simplizialen Mengen ${\displaystyle \mathbf {sSet} }$, also Funktoren ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {sSet} }$. Die Kategorie der simplizialen Mengen wird als:

${\displaystyle \mathbf {bisSet}$ :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {sSet} )\cong \mathbf {Fun} ((\Delta \times \Delta )^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )}

bezeichnet. Seien ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1},\operatorname {pr} _{2}\colon \Delta \times \Delta \rightarrow \Delta }$ die kanonischen Projektionen, dann gibt es durch Vorkomposition induzierte Funktoren ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}^{*},\operatorname {pr} _{2}^{*}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {bisSet} }$. Für simpliziale Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ gibt es eine bisimpliziale Menge ${\displaystyle X\boxtimes Y}$ mit:^[1]

${\displaystyle X\boxtimes Y=\operatorname {pr} _{1}^{*}(A)\times \operatorname {pr} _{1}^{*}(B),}$

${\displaystyle (X\boxtimes Y)_{m,n}=X_{m}\times Y_{n}.}$

Sei ${\displaystyle \delta \colon \Delta \rightarrow \Delta \times \Delta }$ der Diagonalfunktor, dann gibt es durch Vorkomposition einen induzierten Funktor ${\displaystyle \delta ^{*}=\operatorname {diag} \colon \mathbf {bisSet} \rightarrow \mathbf {sSet} }$. Für eine bisimpliziale Menge ${\displaystyle Z}$ gibt es eine simpliziale Menge ${\displaystyle \delta ^{*}(Z)}$ mit:^[1]

${\displaystyle \delta ^{*}(Z)_{n}=Z_{n,n}.}$

Die Diagonale ${\displaystyle \delta ^{*}=\operatorname {diag} \colon \mathbf {bisSet} \rightarrow \mathbf {sSet} }$ hat einen linksadjungierten Funktor ${\displaystyle \delta _{!}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {bisSet} }$ mit ${\displaystyle \delta _{!}\dashv \delta ^{*}}$ und einen rechtsadjungierten Funktor ${\displaystyle \delta _{*}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {bisSet} }$ mit ${\displaystyle \delta ^{*}\dashv \delta _{*}}$.^[2]

Sei ${\displaystyle K}$ eine simpliziale Menge. Der Funktor ${\displaystyle K\boxtimes -\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {bisSet} }$ hat einen rechtsadjungierten Funktor:^[3]

${\displaystyle {}^{K}-\colon \mathbf {bisSet} \rightarrow \mathbf {sSet} ,({}^{K}X)_{n}:=\operatorname {Hom} (K\boxtimes \Delta ^{n},X)=\varprojlim _{\Delta ^{m}\rightarrow K}X_{m,n}.}$

Der Funktor ${\displaystyle -\boxtimes K\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {bisSet} }$ hat einen rechtsadjungierten Funktor:^[3]

${\displaystyle -^{K}\colon \mathbf {bisSet} \rightarrow \mathbf {sSet} ,(X^{K})_{m}:=\operatorname {Hom} (\Delta ^{n}\boxtimes K,X)=\varprojlim _{\Delta ^{n}\rightarrow K}X_{m,n}.}$

Modellstrukturen auf der Kategorie der simplizialen Mengen, darunter vor allem die Joyal- und Kan-Quillen-Modellstruktur, können über die injektive und projektive Modellstruktur auf die Kategorie der bisimplizialen Mengen übertragen werden. Jedoch hat es sich als sinnvoller erwiesen, stattdessen die kanonischen Entsprechungen der Morphismen ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}\rightarrow \Delta ^{n}}$ und ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\rightarrow \Delta ^{n}}$, nämlich:

${\displaystyle \partial \Delta ^{m}\boxtimes \Delta ^{n}\cup \Delta ^{m}\boxtimes \partial \Delta ^{n}\rightarrow \Delta ^{m}\boxtimes \Delta ^{n},}$

${\displaystyle \Lambda _{k}^{m}\boxtimes \Delta ^{n}\cup \Delta ^{m}\boxtimes \partial \Delta ^{n}\rightarrow \Delta ^{m}\boxtimes \Delta ^{n},}$

${\displaystyle \partial \Delta ^{m}\boxtimes \Delta ^{n}\cup \Delta ^{m}\boxtimes \Lambda _{k}^{n}\rightarrow \Delta ^{m}\boxtimes \Delta ^{n}}$

zu nehmen, welche von Kan-Faserungen auf Bifaserungen, Kan-Komplexen auf Kan-Bikomplexe, Links/Rechtsfaserungen auf Links/Rechtsbifaserungen und links/rechtsanodynen Erweiterungen auf links/rechtsbianodyne Erweiterungen führt.

• Der Diagonalfunktor ${\displaystyle \delta ^{*}=\operatorname {diag} \colon \mathbf {bisSet} \rightarrow \mathbf {sSet} }$ bildet links/rechtsbianodyne Erweiterungen auf links/rechtsanodyne Erweiterungen ab.^[4]
• Der linksadjungierte Funktor ${\displaystyle \delta _{!}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {bisSet} }$ bildet links/rechtsanodyne Erweiterungen auf links/rechtsbianodyne Erweiterungen ab.^[5]
• Für simpliziale Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ gilt:^[1]

  ${\displaystyle (\Delta \times \Delta )/(A\boxtimes B)\cong \Delta /A\times \Delta /B,}$

  ${\displaystyle \delta ^{*}(A\boxtimes B)\cong A\times B.}$

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 180. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0, doi:10.1017/9781108588737 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]).