Bohr-van-Leeuwen-Theorem

Die Magnetisierung (die Dichte der magnetischen Momente) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, die Größe der Kraft bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit kann es keine Magnetisierung geben.^[3]

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Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung ${\displaystyle q}$ bzw. ${\displaystyle q_{i}}$ in Magnetfeldern ${\displaystyle \mathbf {B} _{i}}$ mit Vektorpotentialen ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle (\mathbf {B} _{i}=\mathrm {rot} \mathbf {A} _{i})}$ ist die Hamiltonfunktion ${\displaystyle H}$, welche die Energie des Systems beschreibt, definiert über ${\displaystyle H\{(\mathbf {p} _{i}-{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} _{i}(\mathbf {r} _{i},t),\mathbf {r} _{i})\}}$ ^[4]  . Dabei stellt das erste Argument den sogenannten kanonischen Impuls ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m\mathbf {v} _{i}-{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} _{i}}$ dar, während ${\displaystyle m\mathbf {v} _{i}}$ den kinetischen Impuls bildet. Im Gegensatz zu ${\displaystyle m\mathbf {v} _{i}}$ ist ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ nicht eindeutig, sondern man kann zu ihm ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich ${\displaystyle \mathbf {B} _{i}}$ ändert.

Die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der statistischen Physik ist klassisch über den kanonischen Impuls definiert:^[5]

${\displaystyle Z={\frac {1}{h^{3N}N!}}\int _{\mathbb {R} ^{3N}}\mathrm {d} ^{3N}p\int _{V^{N}}\mathrm {d} ^{3N}r\,\mathrm {e} ^{-\beta H\{(\mathbf {p} _{i}-{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i}),\mathbf {r} _{i})\}}}$

Nun geht man zum kinetischen Impuls über, indem man substituiert: ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}\equiv \mathbf {p} _{i}'+{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})}$. Da alle Impulse ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}'}$ über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu

${\displaystyle Z={\frac {1}{h^{3N}N!}}\int _{\mathbb {R} ^{3N}}\mathrm {d} ^{3N}p'\int _{V^{N}}\mathrm {d} ^{3N}r\,\mathrm {e} ^{-\beta H\{(\mathbf {p} _{i}',\mathbf {r} _{i})\}}}$

Da diese nun weder von ${\displaystyle \mathbf {A} }$, noch von ${\displaystyle \mathbf {B} }$ abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,

${\displaystyle \mathbf {M} =k_{\mathrm {B} }T{\frac {\partial \,\mathrm {ln} Z}{\partial Z}}=0.}$

In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem nicht mehr, weil der Spin des Teilchens zu berücksichtigen ist.^[3] Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang ${\displaystyle E_{kin}={\frac {m}{2}}v_{i}^{2}={\frac {\mathrm {p} _{i}'^{2}}{2m}}\,,}$ also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential, in der Quantenmechanik nicht mehr.

Stattdessen hängt der Hamiltonoperator explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. Ferromagnetismus von bestimmten Festkörpern und Paramagnetismus in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.