Borel-Cantelli-Lemma

Formulierung

Das Borel-Cantelli-Lemma besagt Folgendes:^[1][2][3]

Es sei ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine unendliche Folge von Ereignissen eines Wahrscheinlichkeitsraums ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$.

Dann gilt:

1. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der ${\displaystyle A_{n}}$ endlich, so ist die Wahrscheinlichkeit des Limes superior der ${\displaystyle A_{n}}$ gleich 0.
2. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der ${\displaystyle A_{n}}$ unendlich und ist ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine unabhängige Folge, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der ${\displaystyle A_{n}}$ gleich 1.

Da die Aussage von der Form ist, dass die Wahrscheinlichkeit einer Menge, hier des limes superior, entweder 0 oder 1 ist, zählt das Borel-Cantelli-Lemma zu den 0-1-Gesetzen.

Formale Aussage

Für

${\displaystyle A=\limsup _{n\rightarrow \infty }{A_{n}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}}=\{\omega \in \Omega \colon \omega \in A_{n}{\text{ für unendlich viele }}n\in \mathbb {N} \}}$

gilt:

1. ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty \Rightarrow P(A)=0}$
2. ( ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}P(A_{n})=\infty }$ und die ${\displaystyle A_{n}}$ bilden eine unabhängige Folge ) ${\displaystyle \Rightarrow P(A)=1}$

Zum Beweis

Die klassische Aussage 1. kann so bewiesen werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis ${\displaystyle A_{k}}$ mit ${\displaystyle k\geq n}$ eintritt, ist nicht größer als ${\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }P(A_{k})}$ und strebt wegen der vorausgesetzten Konvergenz der Summe gegen 0 für ${\displaystyle n\to \infty }$. Der Limes superior der ${\displaystyle A_{n}}$ ist das Ereignis, dass unendlich viele ${\displaystyle A_{n}}$ eintreten, und ist ein Teilereignis von jedem der im vorigen Satz erwähnten Ereignisse, und seine Wahrscheinlichkeit ist somit nicht größer als sämtliche Glieder einer Nullfolge, also 0, was zu beweisen war.

Bemerkungen

Die Umkehrung von Aussage (1) ist im Allgemeinen nicht wahr. Betrachte hierzu den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)=([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda |_{[0,1]})}$ und die Mengenfolge ${\displaystyle A_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Es gilt ${\displaystyle A_{n}\downarrow A=\{0\}}$, daher ist ${\displaystyle P(\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n})=0}$, obwohl ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }P(A_{n})=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$. Dies liefert auch gleich ein Beispiel dafür, dass die Unabhängigkeit der Folge in (2) unerlässlich ist.