Cisinski-Modellstruktur

Eine kofasernd erzeugte Modellstruktur auf einem Topos, deren Kofaserungen genau die Monomorphismen sind, wird Cisinski-Modellstruktur genannt. Kofasernd erzeugt bedeutet dabei, dass zwei kleine Mengen ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ an Morphismen existieren, mit welchen alle Kofaserungen und trivialen Kofaserungen über die Hochhebungseigenschaft erzeugt werden:^[2]

${\displaystyle \operatorname {Cofib} ={}^{\perp }(I^{\perp });}$

${\displaystyle W\cap \operatorname {Cofib} ={}^{\perp }(J^{\perp });}$

Generell wird eine die Klasse aller Monomorphismen auf einer Kategorie an Prägarben erzeugende kleine Menge als zelluläres Modell bezeichnet:^[3][4]

${\displaystyle \operatorname {Mono} ={}^{\perp }(I^{\perp }).}$

Für jeden Topos existiert ein zelluläres Modell.^[5]

• Joyal-Modellstruktur: Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ und triviale Kofaserungen (also innere anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von inneren Horninklusionen ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ (mit ${\displaystyle n\geq 2}$ und ${\displaystyle 0<k<n}$).^[6][7]
• Kan-Quillen-Modellstruktur: Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ und triviale Kofaserungen (hier anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von Horninklusionen ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ (mit ${\displaystyle n\geq 2}$ und ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$).^[6]

• Denis-Charles Cisinski: Théories homotopiques dans les topos. In: sciencedirect.com. 2001, abgerufen am 13. Oktober 2024 (französisch).
• Georges Maltsiniotis: La théorie de l'homotopie de Grothendieck. (deutsch: Grothendiecks Homotopietheorie). In: Astérisque. 301. Jahrgang, 2005 (französisch, jussieu.fr [PDF]).
• Denis-Charles Cisinski: Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie. (deutsch: Prägarben als Modelle von Homotopietypen). 2006, ISBN 978-2-85629-225-9 (französisch, univ-toulouse.fr [PDF]).
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 180. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0, doi:10.1017/9781108588737 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]).

• Cisinksi model structure auf nLab (englisch)