Cook-Abstand

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Datenpunkte mit großen Residuen (Ausreißern) und/oder großen „Hebelwerten“ könnten das Ergebnis und die Präzision einer Regression beeinflussen. Der Cook-Abstand misst den Effekt der Auslassung einer gegebenen Beobachtung. Datenpunkte mit einem großen Cook-Abstand sollte man bei der Datenanalyse näher betrachten. Es sei das multiple lineare Regressionsmodell in Vektor-Matrix-Form:

${\displaystyle {\underset {n\times 1}{\mathbf {y} }}={\underset {n\times p}{\mathbf {X} }}\quad {\underset {p\times 1}{\boldsymbol {\beta }}}\quad +\quad {\underset {n\times 1}{\boldsymbol {\varepsilon }}}}$,

wobei der Störgrößenvektor einer mehrdimensionalen Normalverteilung folgt ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {0} ,\sigma ^{2}\mathbf {I} \right)}$ und ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\left(\beta _{0}\,\beta _{1},\dots ,\beta _{k}\right)^{\top }}$ der Vektor der Regressionskoeffizienten ist (hierbei ist ${\displaystyle p=k+1}$ die Anzahl der zu schätzenden unbekannten Parameter und ${\displaystyle k}$ die Anzahl der erklärenden Variablen), und ${\displaystyle \mathbf {X} }$ die Datenmatrix. Der Kleinste-Quadrate-Schätzvektor lautet dann ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} }$, woraus folgt, dass sich der Schätzvektor der abhängigen Variablen wie folgt ergibt:

${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} =\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\underbrace {\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }} _{=\mathbf {P} }\mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {y} }$,

wobei ${\displaystyle \mathbf {P} \equiv \mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }}$ die Prädiktionsmatrix darstellt. Das ${\displaystyle i}$te Diagonalelement von ${\displaystyle \mathbf {P} \,}$ ist gegeben durch ${\displaystyle p_{ii}\equiv \mathbf {x} _{i}^{\top }\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {x} _{i}}$, wobei ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\top }}$ die ${\displaystyle i}$-te Zeile der Datenmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ist.^[1] Die Werte werden auch als „Hebelwerte“ der ${\displaystyle i}$ten Beobachtung bezeichnet. Um den Einfluss eines Punktes ${\displaystyle (y_{i},\mathbf {x} _{i}^{\top })}$ zu formalisieren betrachtet man den Effekt der Auslassung des Punktes auf ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ und ${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} =\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$. Der Schätzer von ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$, der dadurch gewonnen wird, dass die ${\displaystyle i}$te Beobachtung ${\displaystyle (y_{i},\mathbf {x} _{i}^{\top })}$ ausgelassen wird, ist gegeben durch ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{(i)}=(\mathbf {X} _{(i)}^{\top }\mathbf {X} _{(i)})^{-1}\mathbf {X} _{(i)}^{\top }\mathbf {y} _{(i)}}$.^[2] Man kann ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{(i)}}$ mit ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$ mittels dem Cook-Abstand vergleichen, der definiert ist durch:^[3][4]

${\displaystyle D_{i}={\frac {({\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{(i)}-{\hat {\boldsymbol {\beta }}})^{\top }(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )({\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{(i)}-{\hat {\boldsymbol {\beta }}})}{(k+1)s^{2}}}={\frac {(\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{(i)}-\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}})^{\top }(\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{(i)}-\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}})}{(k+1)s^{2}}}={\frac {({\hat {\mathbf {y} }}_{(i)}-{\hat {\mathbf {y} }})^{\top }({\hat {\mathbf {y} }}_{(i)}-{\hat {\mathbf {y} }})}{(k+1)s^{2}}}}$,

wobei ${\displaystyle s^{2}}$ die erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen darstellt. Das Maß ${\displaystyle D_{i}}$ ist proportional zum gewöhnlichen euklidischen Abstand zwischen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{(i)}}$ und ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$. Daher ist ${\displaystyle D_{i}}$ groß, wenn die Beobachtung ${\displaystyle (y_{i},\mathbf {x} _{i}^{\top })}$ eine substantiellen Einfluss auf sowohl ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$, als auch ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ hat.

Eine numerisch einfachere Darstellung von ${\displaystyle D_{i}}$ ist gegeben durch:^[5]

${\displaystyle D_{i}={\frac {t_{i}^{2}}{k+1}}\left({\frac {p_{ii}}{1-p_{ii}}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle t_{i}}$ die studentisierten Residuen ${\displaystyle t_{i}={{\widehat {\varepsilon }}_{i} \over s_{(i)}^{2}{\sqrt {1-p_{ii}\ }}}}$ darstellen.

Es gibt unterschiedliche Ansätze zur Bestimmung der Grenzen, was stark einflussreiche Beobachtungen sein sollen. Es wurde die einfache Daumenregel ${\displaystyle D_{i}>1}$ vorgeschlagen.^[6] Andere Autoren haben ${\displaystyle D_{i}>4/n}$ vorgeschlagen, wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Beobachtungen ist.^[7]

• Mahalanobis-Abstand

• Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008