Cornish-Fisher-Methode

Mit der Cornish-Fisher-Methode (nach E. A. Cornish und Ronald Aylmer Fisher) kann das Quantil einer Verteilungsfunktion auf Basis der ersten vier Momente (Erwartungswert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis) abgeschätzt werden.^[1] Basis ist die Bestimmung eines Quantils einer Normalverteilung.^[2] Im Falle einer Normalverteilung mit Erwartungswert ${\displaystyle E(X)}$ können die Quantile der Verteilung dargestellt werden als

${\displaystyle Q_{\alpha }(X)=F_{x}^{-1}(\alpha )=E(X)+q_{\alpha }\cdot \sigma (X)}$.

Hierbei ist der Faktor ${\displaystyle q_{\alpha }}$ nur vom betrachteten Quantil ${\displaystyle \alpha }$ abhängig und entspricht dem Wert der invertierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle ${\displaystyle \alpha }$.

Die Cornish-Fisher-Erweiterung berücksichtigt nun die Schiefe ${\displaystyle \gamma }$ und die Wölbung ${\displaystyle \delta }$ einer Verteilung, womit sich natürlich andere Quantile als bei der Normalverteilung ergeben, deren Schiefe 0 und Kurtosis 3 beträgt. Hierbei wird der Faktor ${\displaystyle q_{\alpha }}$ angepasst mittels

${\displaystyle z_{\alpha }=q_{\alpha }+{\frac {1}{6}}(q_{\alpha }^{2}-1)\cdot \gamma +{\frac {1}{24}}(q_{\alpha }^{3}-3q_{\alpha })\cdot \varepsilon -{\frac {1}{36}}(2q_{\alpha }^{3}-5q_{\alpha })\cdot \gamma ^{2}}$

dabei bezeichnet ${\displaystyle \varepsilon =\delta -3}$ den Exzess, d. h. die über die Wölbung der Normalverteilung hinausgehende Wölbung (Überkurtosis).

(Cornish-Fisher-Abschätzung).^[3]

Die Berechnung der Quantilsfunktion lautet damit

${\displaystyle Q_{\alpha }(X)=E(X)+z_{\alpha }\cdot \sigma (X)\,}$.

Die Methode ermöglicht unter anderem eine bessere Abschätzung von quantilsbezogenen Risikomaßen, z. B. dem Value at Risk, wenn die Normalverteilungshypothese verletzt ist.^[4]