Dandelinsche Kugel

Beim Schnitt eines Drehkegels bzw. eines Doppelkegels mit einer Ebene kann eine Ellipse entstehen. Dies ist der Fall, wenn die Ebene nicht durch die Kegelspitze geht und der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer ist als der halbe Öffnungswinkel des Kegels. Die Dandelin-Kugeln befinden sich, wie in der Abbildung zu sehen, auf verschiedenen Seiten der Ebene. Mit ${\displaystyle k_{1}}$ und ${\displaystyle k_{2}}$ werden nun die Berührungskreise zwischen dem Kegel und jeweils einer der Kugeln bezeichnet. ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ sind die Berührungspunkte zwischen der Schnittebene ${\displaystyle e}$ und jeweils einer der beiden Kugeln.

Damit lässt sich folgende geometrische Überlegung anstellen: Es sei ${\displaystyle P}$ ein beliebiger Punkt auf der Ellipse. ${\displaystyle m}$ sei die Mantellinie, die von der Kegelspitze ${\displaystyle S}$ durch ${\displaystyle P}$ gezogen wird. ${\displaystyle m}$ trifft die beiden Berührungskreise in den Punkten ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$. Sowohl ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ als auch ${\displaystyle {\overline {PP_{2}}}}$ sind Strecken, die auf Tangenten an die untere Kugel liegen. Da die Tangentenabschnitte von einem Punkt an eine Kugel alle gleich lang sind, gilt ${\displaystyle |PF_{2}|=|PP_{2}|}$. Für die obere Kugel ergibt sich entsprechend ${\displaystyle |PF_{1}|=|PP_{1}|}$. Die Summe der Brennpunktabstände ist daher

${\displaystyle |PF_{1}|+|PF_{2}|=|PP_{1}|+|PP_{2}|=|P_{1}P_{2}|}$.

Der Abstand der Schnittpunkte ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$, die eine Strecke auf ${\displaystyle m}$ zwischen den Berührungskreisen ${\displaystyle k_{1}}$ und ${\displaystyle k_{2}}$ begrenzen, ist für jeden beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ der Ellipse gleich groß. Daraus folgt, dass diese Abstandssumme konstant ist:

${\displaystyle |PF_{1}|+|PF_{2}|}$ ist konstant.^[3.1]

In der ebenen Geometrie wird diese Beziehung häufig zur Definition einer Ellipse mit den Brennpunkten ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ herangezogen. Die Konstante wird meist mit ${\displaystyle 2a}$ bezeichnet. Dabei ist ${\displaystyle a}$ die große Halbachse der Ellipse.

Für die Hyperbel muss die obige Überlegung ein wenig angepasst werden. Die Dandelin-Kugeln befinden sich nun auf beiden Seiten der Spitze ${\displaystyle S}$ des Doppelkegels. Die Ebene ${\displaystyle e}$, die Berührungskreise ${\displaystyle k_{1}}$ und ${\displaystyle k_{2}}$ und die Berührungspunkte (Brennpunkte) ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ sind entsprechend definiert wie bei der Ellipse. Für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ der Hyperbel werden die Mantellinie ${\displaystyle m}$ sowie die Punkte ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ wie bei der Ellipse festgelegt. Allerdings liegt ${\displaystyle P}$ jetzt nicht mehr auf der Verbindungsstrecke ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$, sondern auf deren Verlängerung. Wie im Falle der Ellipse gilt ${\displaystyle |PF_{1}|=|PP_{1}|}$ und ${\displaystyle |PF_{2}|=|PP_{2}|}$. Für die Differenz der Brennpunktabstände kann nun gefolgert werden:

${\displaystyle ||PF_{1}|-|PF_{2}||=||PP_{1}|-|PP_{2}||=|P_{1}P_{2}|\quad {\text{(konstant)}}}$

Damit ist gezeigt, dass für eine Hyperbel die Differenz der Brennpunktabstände konstant ist.^[3.2]

Im Falle der Parabel existiert nur eine Dandelinsche Kugel. Aus diesem Grund gibt es auch nur einen Kreis ${\displaystyle k}$, in dem die Dandelin-Kugel den gegebenen Kegel berührt, und auch nur einen Berührungspunkt ${\displaystyle F}$ zwischen der Dandelin-Kugel und der Ebene ${\displaystyle e}$. Dieser Berührungspunkt ist der Brennpunkt der Parabel. Zu einem beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ der Parabel sei wieder ${\displaystyle m}$ die Mantellinie, die diesen Punkt enthält. Der Schnittpunkt dieser Mantellinie mit dem Kreis ${\displaystyle k}$ sei mit ${\displaystyle P'}$ bezeichnet. Ähnlich wie bei Ellipse und Hyperbel erkennt man, dass ${\displaystyle |PF|=|PP'|}$ gelten muss. Zusätzlich kommt hier die Leitlinie ${\displaystyle l}$ der Parabel ins Spiel, also die Schnittgerade der Ebene ${\displaystyle e}$ mit der Ebene des Berührungskreises ${\displaystyle k}$. Es kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle |PP'|}$ mit dem Leitlinienabstand ${\displaystyle |Pl|}$ übereinstimmt. Damit gilt

${\displaystyle |PF|=|PP'|=|Pl|}$.

Folglich ist für jeden Punkt ${\displaystyle P}$ der Parabel der Brennpunktabstand ${\displaystyle |PF|}$ gleich dem Leitlinienabstand ${\displaystyle |Pl|}$.^[3.3]

Lässt man die Kegelspitze ins Unendliche wandern, so wird aus dem Kegel ein gerader Kreiszylinder und die beiden Kugeln haben den gleichen Radius. Der Beweis, dass ein ebener Schnitt mit einer nicht zur Zylinderachse parallelen Ebene eine Ellipse ist, kann vom Kegelfall übernommen werden (siehe Bild).

Wenn der Schnitt senkrecht zur Kegelachse erfolgt, ist die Schnittebene ein Kreis, und beide Dandelinschen Kugeln berühren den Mittelpunkt dieses Kreises.

• Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 69,75.
• Graf, Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 115, 169.