Diedergruppe

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise ${\displaystyle D_{n}}$, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch ${\displaystyle D_{2n}}$, um stattdessen die Ordnung ${\displaystyle 2n}$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht ${\displaystyle D_{n}}$ für die Diedergruppe mit ${\displaystyle 2n}$ Elementen.

Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ lässt sich für jede ganze Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ als eine Gruppe erklären, die aus ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Achsenspiegelungen in der Ebene sowie der Verkettung als Verknüpfung besteht.^[1] Dadurch ist sie im Wesentlichen eindeutig festgelegt. Denn diese ${\displaystyle 2n}$ Kongruenzabbildungen haben dann einen gemeinsamen Fixpunkt ${\displaystyle O,}$^[2] die ${\displaystyle n}$ Drehwinkel sind

${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {2k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dotsc ,n-1),}$

und die ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen ergeben sich aus einer von ihnen durch Drehungen um die Winkel

${\displaystyle {\frac {\alpha _{k}}{2}}={\frac {k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dotsc ,n-1)}$

(siehe Satz von Leonardo).

Für ${\displaystyle n\geq 3}$ ist die Gruppe ${\displaystyle D_{n}}$ daher identisch mit der Symmetriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks, dessen Symmetrieachsen die ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen sind und dessen Mittelpunkt somit ${\displaystyle O}$ ist. Die Gruppe ${\displaystyle D_{n}}$ ist dann nicht abelsch, und ihre ${\displaystyle 2n}$ Elemente bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen.

Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ kann für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ auch algebraisch definiert werden als semidirektes Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ durch Inversion gegeben). Aber darauf wird hier nicht weiter eingegangen.

Ein Beispiel ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{3}}$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist. ${\displaystyle D_{4}}$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

${\displaystyle D_{2}}$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). ${\displaystyle D_{1}}$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

${\displaystyle D_{2}}$ ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. ${\displaystyle D_{1}}$ ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe ${\displaystyle D_{8}}$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Die ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Achsenspiegelungen der Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ lassen sich durch orthogonale ${\displaystyle 2\!\times \!2\!\ {\text{-}}}$Matrizen darstellen. Dazu wird in der Ebene ein positiv orientiertes^[3] kartesisches ${\displaystyle x{\text{-}}y{\text{-}}}$Koordinatensystem zugrunde gelegt, dessen Ursprung der Fixpunkt ${\displaystyle O}$ ist und dessen ${\displaystyle x{\text{-}}}$Achse eine der Spiegelachsen ist. Die Drehung um den Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}=k\cdot 2\pi /n}$ (im positiven Sinn)^[3] wird dann durch die Matrix

${\displaystyle r_{k}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{k}&-\sin \alpha _{k}\\\sin \alpha _{k}&\cos \alpha _{k}\end{pmatrix}}}$

dargestellt und die Spiegelung an der um ${\displaystyle O}$ um den Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n}$ gedrehten ${\displaystyle x{\text{-}}}$Achse durch

${\displaystyle s_{k}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{k}&\sin \alpha _{k}\\\sin \alpha _{k}&-\cos \alpha _{k}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle (k=0,1,\dotsc ,n-1).}$

Diese ${\displaystyle 2n}$ Matrizen bilden bezüglich der Matrizenmultiplikation eine zu ${\displaystyle D_{n}}$ isomorphe Gruppe. Diese Matrizengruppe ist eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe ${\displaystyle O(2)}$ und wird im Folgenden mit ${\displaystyle D_{n}}$ identifiziert.

Die Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}=k\cdot 2\pi /n}$ lassen sich für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle k}$ bilden, ebenso die zugehörigen Drehungen und Achsenspiegelungen bzw. Matrizen ${\displaystyle r_{k}}$ und ${\displaystyle s_{k}.}$ Es fallen dann folgende Relationen auf:

• ${\displaystyle r_{k+n}=r_{k}}$ und ${\displaystyle s_{k+n}=s_{k}}$ für alle ${\displaystyle k.}$
• ${\displaystyle r_{0}}$, die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 0}$, ist die Identität.
• ${\displaystyle r_{1}}$ ist die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\pi /n}$ und es gilt ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}$ für alle ${\displaystyle k}$.
• ${\displaystyle s_{0}}$ ist die Spiegelung an der ${\displaystyle x}$-Achse und es gilt ${\displaystyle s_{k}=r_{k}s_{0}}$ für alle ${\displaystyle k}$.

Im Fall ${\displaystyle n\geq 3}$ gilt mit dem in der obigen Definition betrachteten regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Eck: Wenn ${\displaystyle n}$ ungerade ist, dann verläuft jede der ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades ${\displaystyle n}$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In der Matrix-Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1ex]s_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

${\displaystyle r_{0}}$ (Drehung um 0°)	${\displaystyle r_{1}}$ (Drehung um 90°)	${\displaystyle r_{2}}$ (Drehung um 180°)	${\displaystyle r_{3}}$ (Drehung um 270°)
${\displaystyle s_{0}}$ (Spiegelung an der x-Achse)	${\displaystyle s_{1}}$ (Spiegelung an der Diagonale y=x)	${\displaystyle s_{2}}$ (Spiegelung an der y-Achse)	${\displaystyle s_{3}}$ (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ auf den Eckpunkten ${\displaystyle 1,2,3,4}$, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{4}}$, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \tau \colon D_{4}\to S_{4}}$. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (r_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}\right),\\[1ex]\tau (s_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}\right).\end{aligned}}}$

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ auf den Eckpunkten ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}}$ eine treue Darstellung ${\displaystyle \tau \colon D_{n}\to S_{n}}$. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

${\displaystyle \tau (r_{1})=(1\;\;2\;\;3\,\dots \,n).}$

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die ${\displaystyle P_{1}}$ auf ${\displaystyle P_{2}}$ abbildet, ${\displaystyle P_{2}}$ auf ${\displaystyle P_{3}}$ und so weiter, bis schließlich ${\displaystyle P_{n}}$ auf ${\displaystyle P_{1}}$ abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}$ für alle ${\displaystyle k}$. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch ${\displaystyle P_{n}}$ erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

${\displaystyle \tau (s_{1})=(1\;\,\ n\!-\!1)\,(2\;\,\ n\!-\!2)\dotsm \left({\bigl \lfloor }\!{\tfrac {n-1}{2}}\!{\bigl \rfloor }\;\,\ {\bigl \lfloor }\!{\tfrac {n+2}{2}}\!{\bigl \rfloor }\right)}$

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ (die jeder reellen Zahl ${\displaystyle x}$ die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als ${\displaystyle x}$ ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation ${\displaystyle s_{k+1}=r_{k}s_{1}}$ für alle ${\displaystyle k}$ (mit ${\displaystyle s_{n}=s_{0}}$).

Alle ${\displaystyle n}$ Drehungen werden von ${\displaystyle r=r_{1}}$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ und demnach von Index ${\displaystyle 2}$. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel ${\displaystyle s=s_{0}}$, und so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle r,s\;{\big |}\;r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle }$

für ${\displaystyle n\geq 2,}$ wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ist.

Aus den letzten beiden Gleichungen folgt ${\displaystyle \textstyle sr=r^{-1}s^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle =r^{-1}s}$ und daraus

${\displaystyle sr^{k}=r^{-k}s}$

für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle k}$ (zunächst induktiv nur für ${\displaystyle k\geq 0,}$ aber hieraus auch ${\displaystyle \textstyle sr^{-k}=r^{k}s}$). Mit ${\displaystyle \textstyle r^{n}=e}$ ergibt sich noch ${\displaystyle \textstyle sr^{k}=r^{n-k}s.}$

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen ${\displaystyle \alpha }$, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\alpha }$. Das bedeutet, dass die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel ${\displaystyle s_{0}}$ und ${\displaystyle s_{1}}$, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\;{\big |}\;s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle }$

für ${\displaystyle n\geq 2}$ bzw. ${\displaystyle D_{1}=\left\langle s_{0}\,{\big |}\,s_{0}^{2}=e\right\rangle }$. Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ gilt außerdem:

1. ${\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{i+j}}$
2. ${\displaystyle r_{i}s_{j}=s_{i+j}}$
3. ${\displaystyle s_{i}r_{j}=s_{i-j}}$
4. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=r_{i-j}}$

Dabei werden die Indizes jeweils modulo ${\displaystyle n}$ betrachtet (${\displaystyle r_{i+n}=r_{i}}$ und ${\displaystyle s_{i+n}=s_{i}}$).

• Unendliche Diedergruppe

• Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
• Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.