Digitale Bildanalyse

Basismerkmale

Die Basismerkmale eines Objekts ${\displaystyle X}$ (in der Sprache der Integralgeometrie die Quermaßintegrale) sind bis auf konstante Faktoren

• ${\displaystyle A}$ – die Fläche (area),
• ${\displaystyle U}$ – der Umfang und
• ${\displaystyle \chi }$ – die Euler-Zahl (d. h. die Euler-Poincaré-Charakteristik).

Diese drei Merkmale sind in gewissem Sinne vollständig. Jedes weiter Merkmal mit den oben genannten Eigenschaften ist eine Linearkombination der drei Basismerkmale (Satz von Hadwiger) und daher redundant. Basismerkmale zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich aufgrund ihrer Additivität aus lokaler Bildinformation bestimmen lassen, also aus der Konfiguration der ${\displaystyle 2\times 2}$-Umgebungen der Pixel^[14], siehe Abbildung 2 (rechts). Die Basismerkmale errechnen sich aus der gewichteten Summe der Pixelumgebungen, wobei die Gewichte ${\displaystyle w_{k}}$ für quadratische Pixel der Tabelle entnommen werden können. Für die Berechnung des Umfangs ${\displaystyle U}$ sind die Gewichte ${\displaystyle w_{k}}$ für ein Rendering des diskretisierten Objekts angegeben. Alternative Gewichte, die im Allgemeinen zu einer höheren Genauigkeit der Umfangsbestimmung führen, können mit einer diskreten Version der der Crofton-Formel erhalten werden.^[14] In Abbildung 3 ist ein Test zur Genauigkeit der Umfangsbestimmung dargestellt. Die Gewichte ${\displaystyle w_{k}}$ zur Berechnung der Euler-Zahl ${\displaystyle \chi }$ hängen von der Wahl der Nachbarschaft der Pixel ab.

Unter idealen Bedingungen (ausreichender Kontrast der Abbildung und fehlerfreie Segmentierung) können für den relative Fehler ${\displaystyle \delta }$ der Flächenbestimmung Grenzen angegeben werden. Aus der lokalen Steiner-Formel folgt

${\displaystyle {\frac {-12aU+\pi a^{2}\chi }{144A}}\leq \delta \leq {\frac {12aU+\pi a^{2}\chi }{144A}},}$

wobei ${\displaystyle a}$ die Pixelgröße bezeichnet.^[14] Mit zunehmender lateraler Auflösung, d. h. kleiner werdender Pixelgröße ${\displaystyle a}$, konvergiert die gemessene Fläche also gegen den exakten Wert. Die Flächenmessung ist also multigrid-konvergent. Für Messungen des Umfangs und der Euler-Zahl gilt das im Allgemeinen nicht.

Aus den Basismerkmalen lassen sich weitere Merkmale berechnen, unter anderem:

• ${\displaystyle f_{1}={\frac {4\pi A}{U^{2}}}}$ – die Rundheit (roundness, circularity, isoperimetrischer Formfaktor, folgt aus der isoperimetrischen Ungleichung) und
• ${\displaystyle d_{A}=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$ – der Durchmesser des flächengleichen Kreises (Äquivalentdurchmesser).

Für die Rundheit gilt ${\displaystyle 0<f_{1}\leq 1}$ für alle Objekte ${\displaystyle X}$, und für kreisförmige Objekte ist ${\displaystyle f_{1}=1}$.

Die Euler-Zahl ${\displaystyle \chi }$ ist gleich 1 minus die Anzahl der Löcher im Objekt und daher eine topologische Kennzahl. Sie lässt sich als alternierende Summe der Tangentenzahlen ${\displaystyle \tau _{1}}$, ${\displaystyle \tau _{2}}$, ${\displaystyle \tau _{3}}$ und ${\displaystyle \tau _{4}}$ des Objekts ${\displaystyle X}$ darstellen,

${\displaystyle \chi =\tau _{1}-\tau _{2}-\tau _{3}+\tau _{4}}$.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werden nur horizontale Tangenten an den Rand ${\displaystyle \partial X}$ von ${\displaystyle X}$ betrachtet. Dabei bezeichnen ${\displaystyle \tau _{k}}$ die Tangentenzahlen vom Typ ${\displaystyle k}$:

• Typ 1 – Tangenten an konvexe Teile des Randes ${\displaystyle \partial X}$, wobei das Innere von ${\displaystyle X}$ lokal (d. h. in einer Umgebung eines Tangentialpunktes) unterhalb der Tangente liegt (obere Endpunkte, upper end points),
• Typ 2 – Tangenten an einen konkaven Teil von ${\displaystyle \partial X}$, wobei der Bildhintergrund von ${\displaystyle X}$ (d. h. die Komplementärmenge ${\displaystyle X^{c}}$ von ${\displaystyle X}$) lokal unterhalb der Tangente liegt (obere Verzweigungspunke, upper branch points oder upper fork points),
• Typ 3 – Tangenten an einen konkaven Teil von ${\displaystyle \partial X}$, wobei ${\displaystyle X^{c}}$ lokal unterhalb der Tangente liegt (untere Verzeigungspunkte) und
• Typ 4 – Tangenten an konvexe Teile des Randes ${\displaystyle \partial X}$, wobei das Innere von ${\displaystyle X}$ lokal oberhalb der Tangente liegt (untere Endpunkte).

Den Tangentanzahlen kommt in der Bildanalyse eine eigenständige Bedeutung zu, z. B. bei der Bestimmung der Anzahl von Verzweigungspunkten (fork count) von Objekten oder deren Skelette, wobei für Skelette noch Kreuzungspunkte (junction points) zu berücksichtigen sind.^[15][16][17] Die Zählung von Endpunkten findet Anwendung bei der Zählung sich gegenseitig überlappender, gerader Fasern in Bildern veraschter Faserverbundwerkstoffe^[18] oder der Spuren radioaktiver Strahlung in Bildern von Festkörperspurdetektoren (solid state nuclear track detectors, SSNTD).

Zu den additiven Merkmalen eines Objekts zählen auch die integrierte Helligkeit (integrierte Extinktion) und die integrierte quadratische Helligkeit, die sich als Summe bzw. Quadratsumme der Grauwerte der Pixel eines Objekts bestimmen lassen. Daraus können die mittlere Extinktion und die Standardabweichung der Extinktion berechnet werden.

Momente

Weitere bildanalytisch einfach bestimmbare Merkmale sind nichtzentrierte und zentrierte Momente. Dazu gehören der geometrische Schwerpunkt und die Halbachsenlängen der an ein Objekt angepassten Ellipse sowie die Richtung der großen Halbachse.

Ist ${\displaystyle X\subset R^{2}}$ ein kompaktes Objekt und ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ ein Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$, dann sind

${\displaystyle {\bar {x}}_{1}={\frac {1}{F}}\int _{X}x_{1}\mathrm {d} x}$ und ${\displaystyle {\bar {x}}_{2}={\frac {1}{F}}\int _{X}x_{2}\mathrm {d} x}$

die Koordinaten des Schwerpunkts ${\displaystyle x_{S}}$ von ${\displaystyle X}$, der dessen Lage im Bild charakterisiert (und einer der wenigen Merkmale darstellt, die mit Subpixelgenauigkeit^[19] gemessen werden können).

Aus den zentrierten zweiten Momenten:

${\displaystyle s_{11}={\frac {1}{F}}\int _{X}(x_{1}-{\bar {x}}_{1})^{2}\mathrm {d} x}$,

${\displaystyle s_{12}={\frac {1}{F}}\int _{X}(x_{1}-{\bar {x}}_{1})(x_{2}-{\bar {x}}_{2})\mathrm {d} x}$ und

${\displaystyle s_{22}={\frac {1}{F}}\int _{X}(x_{2}-{\bar {x}}_{2})^{2}\mathrm {d} x}$

lassen sich die Parameter der an das Objekt angepassten Ellipse berechnen. Sind ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}}$ die Eigenwerte der Matrix

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{12}&s_{22}\end{pmatrix}}}$,

dann sind ${\displaystyle 2{\sqrt {\lambda _{1}}}}$ und ${\displaystyle 2{\sqrt {\lambda _{2}}}}$ die beiden Halbachsenlängen der Ellipse.^[14]

Merkmale der konvexen Hülle

Zu den Merkmalen der konvexen Hülle^[20] eines Objekts ${\displaystyle X}$ zählen

• ${\displaystyle A_{c}}$ – die Fläche der konvexen Hülle und
• ${\displaystyle U_{c}}$ – der Umfang der konvexen Hülle.

Die Euler-Zahl der konvexen Hülle ist gleich 1.

Die konvexe Hülle der Pixel eines Objekts ${\displaystyle X}$ ist ein Polygon ${\displaystyle P}$, dessen Kantenzug effektiv z. B. mit dem Graham-Scan-Algorithmus aus den Randpixeln der Diskretisierung von ${\displaystyle X}$ berechnet werden kann. Allerdings sind die Fläche ${\displaystyle F_{P}}$ und der Umfang ${\displaystyle U_{P}}$ kleiner als ${\displaystyle A_{c}}$ bzw. ${\displaystyle U_{c}}$. Zur Berechnung von ${\displaystyle A_{c}}$ und ${\displaystyle U_{c}}$ werden daher die Korrekturformeln

${\displaystyle A_{c}=A_{P}+{\frac {a}{2}}U_{P}+{\frac {\pi a^{2}}{4}}}$ bzw. ${\displaystyle U_{c}=U_{P}+\pi a}$

verwendet, wobei ${\displaystyle a}$ die Pixelgröße ist.^[14] Diese Formeln sind Spezialfälle der Steiner-Formel.

Gebräuchlich in der Digitalen Bildanalyse sind auch die Kennzahlen:

• ${\displaystyle f_{2}={\frac {A_{c}}{A}}}$ und ${\displaystyle f_{3}={\frac {U}{U_{c}}}}$ – die Konvexität,
• ${\displaystyle f_{4}={\frac {4\pi A_{c}}{U_{c}^{2}}}}$ – die Rundheit der konvexen Hülle,
• ${\displaystyle d(\vartheta )}$ – die Breite (Feretscher Durchmesser, Kaliber-Durchmesser) als Funktion der Richtung ${\displaystyle \vartheta }$ mit ${\displaystyle 0\leq \vartheta <\pi }$,
• ${\displaystyle {\bar {d}}}$ – die mittlere Breite,
• ${\displaystyle d_{\mathrm {min} }}$ – die minimale Breite,
• ${\displaystyle d_{\mathrm {max} }}$ – die maximale Breite und
• ${\displaystyle f_{5}={\frac {d_{\mathrm {min} }}{d_{\mathrm {max} }}}}$ – der Streckungsgrad (aspect ratio),

die sich direkt aus dem Polygonzug der konvexen Hülle berechnen lassen. Die Differenz ${\displaystyle A_{c}-A}$ wird als konvexes Defizit bezeichnet.

Die mittlere Breite ${\displaystyle {\bar {d}}}$ ist proportional zum Umfang der konvexen Hülle, ${\displaystyle \pi {\bar {d}}=U_{c}}$ (Cauchy-Formel). Die Konvexitäten ${\displaystyle f_{2}}$ und ${\displaystyle f_{3}}$ nehmen Werte zwischen 0 und 1 an. Für konvexe Objekte ist ${\displaystyle f_{2}=f_{3}=1}$. Für die Rundheit der konvexen Hülle gilt analog zu oben ${\displaystyle 0<f_{4}\leq 1}$, wobei für kreisförmige Objekte wieder ${\displaystyle f_{4}=0}$ ist. Es ist auch ${\displaystyle 0<f_{5}\leq 1}$ mit ${\displaystyle f_{5}=1}$ für Gleichdicke (z. B. für des Reuleaux-Dreieck).

Bei der bildanalytischen Bestimmung der Breite als Funktion der Richtung wird zunächst die Stützfunktion ${\displaystyle h(\vartheta )}$ des Polygons ${\displaystyle P}$ (z. B. bezüglich des Schwerpunkts der Eckpunkte von ${\displaystyle P}$) für ${\displaystyle 0\leq \vartheta <2\pi }$ berechnet, also der kleinste Abstand zwischen dem Schwerpunkt und der Tangente (d. h. der Stützgeraden) an ${\displaystyle P}$, die senkrecht zur Richtung ${\displaystyle \vartheta }$ ist. Die Stützfunktion ${\displaystyle h(\vartheta )}$ von ${\displaystyle P}$ ist eine stückweise Kosinusfunktion, die durch ihre Koeffizienten repräsentiert werden kann. Aus der Stützfunktion von ${\displaystyle P}$ erhält man die Breite von ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle b(\vartheta )=h(\vartheta )+h(\vartheta +\pi )+a}$.

Außerdem gilt

${\displaystyle U_{P}=\int _{0}^{2\pi }h(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }$ und ${\displaystyle A_{P}=\int _{0}^{2\pi }(h^{2}(\vartheta )-h'^{2}(\vartheta ))\mathrm {d} \vartheta }$,

wobei ${\displaystyle h'(\vartheta )}$ die erste Ableitung von ${\displaystyle h(\vartheta )}$ bezeichnet.^[21][22]