Dizyklische Gruppe

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Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe ${\displaystyle C_{2n}}$, die wir als multiplikative Untergruppe in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ realisieren, d. h.

${\displaystyle C_{2n}=\{\exp(\nu \pi i/n)\mid \nu =0,\ldots ,2n-1\}}$

Die Gruppe wird von ${\displaystyle a:=\exp(\pi i/n)}$ erzeugt und es ist

${\displaystyle a^{\nu }=\exp(\nu \pi i/n)=\cos(\nu \pi /n)+i\sin(\nu \pi /n)}$

Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung ${\displaystyle 2n}$, damit ${\displaystyle -1=a^{n}\in C_{2n}}$ ist. Indem wir die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} +i\mathbb {R} }$ als Unteralgebra der Quaternionen ${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} +i\mathbb {R} +j\mathbb {R} +k\mathbb {R} }$ auffassen, ist ${\displaystyle C_{2n}}$ auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Wir wollen ${\displaystyle b:=j}$ als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher

${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}:=}$ von ${\displaystyle \{a,b\}}$ erzeugte multiplikative Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Da ${\displaystyle i\cdot j=k}$ ist

${\displaystyle a^{\nu }b=j\cos(\nu \pi /n)+k\sin(\nu \pi /n)}$,

und man kann zeigen, dass

${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}=\{a^{\nu },a^{\nu }b\mid \nu =0,\ldots ,2n-1\}}$

Dazu rechnet man zunächst ${\displaystyle (ab)^{2}=-1}$ und damit ${\displaystyle ba=a^{-1}b=a^{2n-1}b}$; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ tatsächlich nur die angegebenen ${\displaystyle 4n}$ Elemente enthält.^[1]

Da die Elemente ${\displaystyle a^{\nu }b}$ genauso wie die ${\displaystyle a^{\nu }}$ ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.^[2]

Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:

${\displaystyle 0\rightarrow C_{2n}\,{\xrightarrow {\iota }}\,\mathrm {Dic_{n}} \,{\xrightarrow {p}}\,C_{2}\rightarrow 0}$.

Dabei ist ${\displaystyle \iota }$ die Inklusionsabbildung und ${\displaystyle p(a^{\nu })=1,\,p(a^{\nu }b)=-1}$. Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen ${\displaystyle a^{2n}=1,\quad a^{n}=-1=b^{2},\quad ba=a^{-1}b}$. Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle 4n}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$ erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen^[3]:

${\displaystyle \left\langle x,y\mid x^{2n}=1,x^{n}=y^{2},yx=x^{-1}y\right\rangle }$.

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${\displaystyle \mathrm {Dic} _{1}=\{1,-1,j,-j\}}$

ist eine zur zyklischen Vierergruppe ${\displaystyle C_{4}}$ isomorphe Gruppe.

${\displaystyle \mathrm {Dic} _{2}=\{1,i,-1,-i,j,ij,-j,-ij\}}$

ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.

${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}=\{1,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b\}}$

ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

Hier ist ${\displaystyle \textstyle a={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ und ${\displaystyle b=j}$. Da ${\displaystyle a^{3}=-1}$, kann man auf die Potenzen ${\displaystyle a^{3},a^{4},a^{5}}$ verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{2}}$ mit ${\displaystyle a=i}$ und ${\displaystyle b=j}$ bereits getan hatten. Es ist dann ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}=\{1,a,a^{2},-1,-a,-a^{2},b,ab,a^{2}b,-b,-ab,-a^{2}b\}}$