Elektromagnetischer Feldstärketensor

Der elektromagnetische Feldstärketensor (auch Faraday-Tensor oder einfach Feldstärketensor) ist eine physikalische Größe, die in der Elektrodynamik das elektromagnetische Feld als Feld in der Raumzeit beschreibt. Er wurde 1908 von Hermann Minkowski im Rahmen der Relativitätstheorie eingeführt. Die aus Physik und Technik bekannten vektoriellen Feldgrößen wie elektrische und magnetische Feldstärke lassen sich aus dem Feldstärketensor ableiten. Die Bezeichnung Tensor für die Art dieser Größe ist eine Abkürzung, tatsächlich ist es ein Tensorfeld, also ein von Punkt zu Punkt variierender Tensor.

Definition

Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das Vektorpotential:^[1]

\,F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

z. B. mit dem klassischen Vektorpotential^[2]

A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)

Diese Definition ist auch für die Quantenelektrodynamik gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der Feldstärketensor-Definition einer allgemeinen Eichtheorie.

Eigenschaften und Formeln

Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:

$F^{\mu \nu }$ ist antisymmetrisch: $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$
Daher verschwinden seine Diagonalelemente $F^{\mu \mu }=0$ und auch seine Spur: $\operatorname {Spur} (F)=F^{00}+F^{11}+F^{22}+F^{33}=0$
Aufgrund der Antisymmetrie sind nur 6 der 16 Komponenten unabhängig

Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:

In der Lagrangedichte tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:^[3]

F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)

Von Interesse ist auch die mit dem Levi-Civita-Symbol gebildete, pseudoskalare Invariante:^[3]

{\widetilde {F}}_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\tfrac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)

Mit der Konvention $\epsilon _{0123}=-1$ bzw. $\epsilon ^{0123}=+1$ .

Keine neue Information ergibt:^[3]

{\widetilde {F}}_{\gamma \delta }{\widetilde {F}}^{\gamma \delta }=-F_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }

In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:

\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)^{2}

Der Energie-Impuls-Tensor $T^{\alpha \beta }$ der allgemeinen Relativitätstheorie für das elektromagnetische Feld wird aus $F^{\alpha \beta }$ gebildet:^[4]

T^{\alpha \beta }=F^{\alpha \gamma }{F^{\beta }}_{\gamma }-{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

Darstellung als Matrix

Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist koordinatenabhängig. In einer flachen Raumzeit (also mit Minkowski-Metrik) und kartesischen Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:^[1]^[5]^[6]

F^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)

(Diese Matrix wird gelegentlich ebenfalls kurz als Tensor bezeichnet, ist aber nicht der Tensor selbst). Die kovariante Form der Matrixdarstellung des Tensors lautet bei Verwendung der Signatur (+,−,−,−) entsprechend^[5]^[6]

F_{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)=\left(\eta _{\mu \alpha }F^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }\right)~.

Homogene Maxwell-Gleichungen in kompakter Formulierung

Es ist gebräuchlich, auch den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor zu definieren:^[1]^[7]^[8]

{\widetilde {F}}^{\mu \nu }:={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\,F_{\alpha \beta }\quad \Rightarrow \quad {\widetilde {F}}^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\\\end{matrix}}\right)

wobei $\,F_{\alpha \beta }$ der kovariante Feldstärketensor und $\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }$

\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }={\begin{cases}+1,&{\text{wenn }}(\mu ,\nu ,\alpha ,\beta ){\text{ eine gerade Permutation von }}(0,1,2,3){\text{ ist,}}\\-1,&{\text{wenn }}(\mu ,\nu ,\alpha ,\beta ){\text{ eine ungerade Permutation von }}(0,1,2,3){\text{ ist,}}\\\,\,0,&{\text{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}

der vollständig antisymmetrische Levi-Civita-Tensor ist.^[7]

Damit lassen sich die homogenen^[1]^[7] Maxwell-Gleichungen kompakt aufschreiben, denn die Divergenz des dualen elektromagnetischen Feldstärketensors

\partial _{\mu }{\widetilde {F}}^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}\partial _{0}&\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\\\end{matrix}}\right)

führt auf

\left({\begin{matrix}\partial _{\mu }{\widetilde {F}}^{\mu 0}\\\partial _{\mu }{\widetilde {F}}^{\mu 1}\\\partial _{\mu }{\widetilde {F}}^{\mu 2}\\\partial _{\mu }{\widetilde {F}}^{\mu 3}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\nabla \cdot {\vec {B}}\\-{\dot {B}}_{x}/c-\partial _{y}E_{z}/c+\partial _{z}E_{y}/c\\-{\dot {B}}_{y}/c+\partial _{x}E_{z}/c-\partial _{z}E_{x}/c\\-{\dot {B}}_{z}/c-\partial _{x}E_{y}/c+\partial _{y}E_{x}/c\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\nabla \cdot {\vec {B}}\\-{\dot {B}}_{x}/c-(\nabla \times {\vec {E}}/c)_{x}\\-{\dot {B}}_{y}/c-(\nabla \times {\vec {E}}/c)_{y}\\-{\dot {B}}_{z}/c-(\nabla \times {\vec {E}}/c)_{z}\\\end{matrix}}\right)

Verschwindet die Divergenz des dualen elektromagnetischen Feldstärketensors

\color {Red}\partial _{\mu }{\widetilde {F}}^{\mu \nu }=0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot {\vec {B}}=0\quad {\text{und}}\quad {\tfrac {{\text{d}}{\vec {B}}}{{\text{d}}t}}+\nabla \times {\vec {E}}=0

so ergeben sich die homogenen Maxwell-Gleichungen.^[9]

Inhomogene Maxwell-Gleichungen in kompakter Formulierung

Mit der Viererstromdichte $j^{\nu }=(c\rho ,{\vec {j}}\,)$ und der Divergenz des kontravarianten Feldstärketensors $F^{\mu \nu }$

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}\partial _{0}&\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)

ergibt sich:^[1]

\left({\begin{matrix}\partial _{\mu }F^{\mu 0}\\\partial _{\mu }F^{\mu 1}\\\partial _{\mu }F^{\mu 2}\\\partial _{\mu }F^{\mu 3}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\nabla \cdot {\vec {E}}/c\\-{\dot {E}}_{x}/c^{2}+\partial _{y}B_{z}-\partial _{z}B_{y}\\-{\dot {E}}_{y}/c^{2}-\partial _{x}B_{z}+\partial _{z}B_{x}\\-{\dot {E}}_{z}/c^{2}+\partial _{x}B_{y}-\partial _{y}B_{x}\\\end{matrix}}\right)=\mu _{0}\left({\begin{matrix}\rho c\\j_{x}\\j_{y}\\j_{z}\\\end{matrix}}\right)

Das entspricht den inhomogenen Maxwell-Gleichungen:

{\tfrac {1}{c}}\nabla \cdot {\vec {E}}=\mu _{0}c\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot {\vec {E}}={\tfrac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho ,

denn $\mu _{0}c^{2}={\tfrac {1}{\varepsilon _{0}}}$ und zusätzlich gilt

-{\tfrac {1}{c^{2}}}{\dot {\vec {E}}}+\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}\quad \Rightarrow \quad {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times {\vec {B}}={\vec {j}}+\varepsilon _{0}{\dot {\vec {E}}}

Diese Gleichungen lauten in Viererschreibweise somit:^[1]^[7]

\color {Red}\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}j^{\nu }

Herleitung des elektromagnetischen Feldstärketensors aus der Lorentzkraft

Im Folgenden wird das SI-System verwendet.

${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Der Lorentzkraft ist die Relativitätstheorie bereits inne was im Folgenden klarer wird.

Die relativistische Bewegungsgleichung eines Teilchens der Masse $m_{0}$ und der Ladung $q$ lautet:^[10]

{\frac {\mathrm {d} \,\,\,}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m_{0}{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)={\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma {\vec {v}}\,)}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})

mit $\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ . Nicht der Operator ${\tfrac {\mathrm {d} \,\,}{\mathrm {d} t}}$ ist eine Lorentz-Invariante, sondern der Operator ${\tfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{\tfrac {\mathrm {d} \,\,}{\mathrm {d} t}}=\gamma {\tfrac {\mathrm {d} \,\,}{\mathrm {d} t}}=:{\tfrac {\mathrm {d} \,\,}{\mathrm {d} \tau }}$ .^[11]

\gamma {\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma {\vec {v}}\,)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma {\vec {v}}\,)}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})

In Koordinatenschreibweise ergeben sich daraus drei Gleichungen.

{\begin{matrix}&{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{x})}{\mathrm {d} \tau }}&=q\left({\tfrac {E_{x}}{c}}\gamma c+B_{z}\gamma v_{y}-B_{y}\gamma v_{z}\right)\\&{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{y})}{\mathrm {d} \tau }}&=q\left({\tfrac {E_{y}}{c}}\gamma c+B_{x}\gamma v_{z}-B_{z}\gamma v_{x}\right)\\&{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{z})}{\mathrm {d} \tau }}&=q\left({\tfrac {E_{z}}{c}}\gamma c+B_{y}\gamma v_{x}-B_{x}\gamma v_{y}\right)\end{matrix}}

Auf der rechten Seite taucht die Vierergeschwindigkeit $u^{\mu }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}})$ auf. Auf der linken Seite der Viererimpuls $p_{\mu }=m_{0}u_{\mu }$ mit $p_{\mu }=(m_{0}\gamma c,-m_{0}\gamma {\vec {v}})$ in der Metrik (+,−,−,−):

{\begin{matrix}&{\frac {\mathrm {d} p_{x}}{\mathrm {d} \tau }}=-{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{x})}{\mathrm {d} \tau }}&=q\left(-{\tfrac {E_{x}}{c}}\gamma c-B_{z}\gamma v_{y}+B_{y}\gamma v_{z}\right)\\&{\frac {\mathrm {d} p_{y}}{\mathrm {d} \tau }}=-{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{y})}{\mathrm {d} \tau }}&=q\left(-{\tfrac {E_{y}}{c}}\gamma c-B_{x}\gamma v_{z}+B_{z}\gamma v_{x}\right)\\&{\frac {\mathrm {d} p_{z}}{\mathrm {d} \tau }}=-{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{z})}{\mathrm {d} \tau }}&=q\left(-{\tfrac {E_{z}}{c}}\gamma c-B_{y}\gamma v_{x}+B_{x}\gamma v_{y}\right)\end{matrix}}

Da die Koordinate $x^{0}$ die Zeit in der Relativitätstheorie repräsentiert und die zur Zeit konjugierte Variable die Energie ist, können wir das Gleichungssystem um eine weitere Gleichung ergänzen, dem Differential der Teilchenenergie $m_{0}\gamma c^{2}=p^{0}c$ . Dabei gilt zu beachten das nur das elektrische Feld Arbeit am Teilchen leistet.

{\tfrac {\mathrm {d} p^{0}c}{\mathrm {d} \tau }}={\tfrac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma c^{2})}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=q\gamma ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}=q\gamma {\vec {E}}\cdot {\vec {v}}

Mit $p_{0}=p^{0}$ lautet die vierte Gleichung:

{\tfrac {\mathrm {d} p_{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\tfrac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma c)}{\mathrm {d} \tau }}=q{\tfrac {\vec {E}}{c}}\cdot (\gamma {\vec {v}})

Nun erkennt man den Charakter der linearen Abbildung. Das Produkt der Feldkomponenten mit den Koordinatenkomponenten lässt sich elegant in der Matrixschreibweise darstellen.

\left({\begin{matrix}{\tfrac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma c)}{\mathrm {d} \tau }}\\-{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{x})}{\mathrm {d} \tau }}\\-{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{y})}{\mathrm {d} \tau }}\\-{\frac {\mathrm {d} (m_{0}\gamma v_{y})}{\mathrm {d} \tau }}\end{matrix}}\right)=q{\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{c}}E_{x}&{\tfrac {1}{c}}E_{y}&{\tfrac {1}{c}}E_{z}\\[6pt]-{\tfrac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\[6pt]-{\tfrac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\[6pt]-{\tfrac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\left({\begin{matrix}\gamma c\\\gamma v^{x}\\\gamma v^{y}\\\gamma v^{z}\end{matrix}}\right)

Mit der Vierergeschwindigkeit $u^{\mu }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}})$ folgt aus der Gleichung

{\tfrac {\mathrm {d} p_{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=qF_{\mu \nu }u^{\nu }

der elektromagnetische Feldstärketensor

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{c}}E_{x}&{\tfrac {1}{c}}E_{y}&{\tfrac {1}{c}}E_{z}\\[6pt]-{\tfrac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\[6pt]-{\tfrac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\[6pt]-{\tfrac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

Beispiel: Elektromagnetischer Feldstärketensor einer relativistischen Teilchenbewegung in einem konstanten Magnetfeld

Ein Teilchen bewegt sich in $z$ -Richtung durch ein konstantes Magnetfeld in $x$ -Richtung. Das Feld wird durch den Feldstärketensor beschrieben:

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\[6pt]0&0&0&0\\[6pt]0&0&0&-B_{x}\\[6pt]0&0&B_{x}&0\end{pmatrix}}=F^{\mu \nu }

Die relativistische Bewegungsgleichung ${\tfrac {{\text{d}}p_{\mu }}{{\text{d}}\tau }}=m_{0}{\tfrac {{\text{d}}u_{\mu }}{{\text{d}}\tau }}=qF_{\mu \nu }u^{\nu }$ mit dem Viererimpuls $p_{\mu }=m_{0}u_{\mu }$ lautet in Koordinatenschreibweise^[12]

m_{0}{\frac {{\text{d}}u_{\mu }}{{\text{d}}\tau }}=m_{0}{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}\tau }}{\begin{pmatrix}\gamma c\\-u_{x}\\-u_{y}\\-u_{z}\\\end{pmatrix}}=qF_{\mu \nu }u^{\nu }=q{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\[6pt]0&0&0&0\\[6pt]0&0&0&-B_{x}\\[6pt]0&0&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma c\\u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\\\end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}0\\0\\-u_{z}B_{x}\\u_{y}B_{x}\\\end{pmatrix}}

mit $u_{\mu }=(\gamma c,-\gamma {\vec {v}}\,)$ und $u^{\nu }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}}\,)$ . Das entspricht dem Gleichungssystem:

{\begin{aligned}m_{0}{\frac {{\text{d}}\gamma c\,\,}{{\text{d}}\tau }}&=0\qquad \Rightarrow \qquad \gamma _{0}={\tfrac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}={\text{konstant}}\\-m_{0}{\frac {{\text{d}}\gamma v_{x}}{{\text{d}}\tau }}&=0\qquad \Rightarrow \qquad v_{x}={\text{konstant}}\\-m_{0}{\frac {{\text{d}}u_{y}}{{\text{d}}\tau }}&=-qB_{x}u_{z}\\-m_{0}{\frac {{\text{d}}u_{z}}{{\text{d}}\tau }}&=qB_{x}u_{y}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {{\text{d}}^{2}u_{z}}{{\text{d}}\tau ^{2}}}=-\omega _{\text{Zykl.}}^{2}u_{z}\end{aligned}}

mit der Zyklotronfrequenz

\omega _{\text{Zykl.}}={\frac {qB_{x}}{m_{0}}}

Die Vierergeschwindigkeit $u^{\nu }$ zu den Anfangsbedingungen $u^{\nu }(\tau =0)=(\gamma _{0}c,0,0,\gamma _{0}v_{0})$ ist^[13]

u^{\nu }(\tau )=(\gamma _{0}c,0,\gamma _{0}v_{0}\sin(\omega _{\text{Zykl.}}\tau ),\gamma _{0}v_{0}\cos(\omega _{\text{Zykl.}}\tau ))

Nach nochmaliger Integration mit den Anfangsbedingungen $x^{\nu }(\tau =0)=(0,0,0,0)$ lautet die Lösung der Bewegungsgleichungen:^[13]

x^{\nu }(\tau )=\left(\gamma _{0}c\tau ,0,-{\tfrac {\gamma _{0}v_{0}}{\omega _{\text{Zykl.}}}}[\cos(\omega _{\text{Zykl.}}\tau )-1],{\tfrac {\gamma _{0}v_{0}}{\omega _{\text{Zykl.}}}}\sin(\omega _{\text{Zykl.}}\tau )\right)

Die Bahnkurve der Teilchen

\left({\tfrac {\gamma _{0}v_{0}}{\omega _{\text{Zykl.}}}}-y\right)^{2}+z^{2}=\left({\tfrac {\gamma _{0}v_{0}}{\omega _{\text{Zykl.}}}}\right)^{2}

ist ein Kreis senkrecht zum Magnetfeld.

Beispiel: Elektromagnetischer Feldstärketensor einer relativistische Teilchenbewegung in einem konstanten elektrischen Feld

Ein Teilchen der Masse $m$ und der Ladung $q$ bewegt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit ${\vec {v}}(t=0)=v_{0}\,{\vec {e}}_{x}$ in $x$ -Richtung durch ein homogenes elektrisches Feld in $z$ -Richtung ${\vec {E}}=E_{z}\,{\vec {e}}_{z}$ . Das Feld wird durch den Feldstärketensor beschrieben:

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&0&0&E_{z}/c\\[6pt]0&0&0&0\\[6pt]0&0&0&0\\[6pt]-E_{z}/c&0&0&0\end{pmatrix}}=-F^{\mu \nu }

Die relativistische Bewegungsgleichung ${\tfrac {{\text{d}}p_{\mu }}{{\text{d}}\tau }}=m_{0}{\tfrac {{\text{d}}u_{\mu }}{{\text{d}}\tau }}=qF_{\mu \nu }u^{\nu }$ mit $p_{\mu }=m_{0}u_{\mu }$ lautet in Koordinatenschreibweise^[14]

m_{0}{\frac {{\text{d}}u_{\mu }}{{\text{d}}\tau }}=m_{0}{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}\tau }}{\begin{pmatrix}\gamma c\\-\gamma v_{x}\\-\gamma v_{y}\\-\gamma v_{z}\\\end{pmatrix}}=qF_{\mu \nu }u^{\nu }=q{\begin{pmatrix}0&0&0&E_{z}/c\\[6pt]0&0&0&0\\[6pt]0&0&0&0\\[6pt]-E_{z}/c&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tfrac {qE_{z}}{c}}\gamma v_{z}\\0\\0\\-qE_{z}\gamma \\\end{pmatrix}}

mit $u_{\mu }=(\gamma c,-\gamma {\vec {v}}\,)$ und $u^{\nu }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}}\,)$ . Das entspricht dem Gleichungssystem mit den Anfangsbedingungen $u^{\nu }(t=0)=(\gamma _{0}c,\gamma _{0}v_{0},0,0)$ :

{\begin{aligned}m_{0}{\frac {{\text{d}}\gamma c\,\,}{{\text{d}}\tau }}&={\tfrac {qE_{z}}{c}}\gamma v_{z}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {{\text{d}}\gamma \,\,}{{\text{d}}\tau }}={\tfrac {qE_{z}}{m_{0}c^{2}}}\gamma v_{z}\\-m_{0}{\frac {{\text{d}}\gamma v_{x}}{{\text{d}}\tau }}&=0\qquad \Rightarrow \qquad v_{x}={\text{konstant}}\\-m_{0}{\frac {{\text{d}}\gamma v_{y}}{{\text{d}}\tau }}&=0\qquad \Rightarrow \qquad v_{y}={\text{konstant}}=0\\-m_{0}{\frac {{\text{d}}\gamma v_{z}}{{\text{d}}\tau }}&=-qE_{z}\gamma \qquad \Rightarrow \qquad {\frac {{\text{d}}^{2}\gamma v_{z}}{{\text{d}}\tau ^{2}}}=\left({\tfrac {qE_{z}}{m_{0}c}}\right)^{2}\gamma v_{z}\end{aligned}}

Eine Integration liefert die Vierergeschwindigkeit $u^{\nu }$ zu diesen Anfangsbedingungen:^[15]

u^{\nu }(\tau )=\left(\gamma _{0}c\cosh({\tfrac {qE_{z}}{m_{0}c}}\tau ),\gamma _{0}v_{0}\tau ,0,\gamma _{0}c\sinh({\tfrac {qE_{z}}{m_{0}c}}\tau )\right)

Nach nochmaliger Integration mit den Anfangsbedingungen $x^{\nu }(\tau =0)=(0,0,0,0)$ lautet die Lösung der Bewegungsgleichungen:^[15]

x^{\nu }(\tau )=\left({\tfrac {\gamma _{0}m_{0}c^{2}}{qE_{z}}}\sinh({\tfrac {qE_{z}}{m_{0}c}}\tau ),\gamma _{0}v_{0}\tau ,0,{\tfrac {\gamma _{0}m_{0}c^{2}}{qE_{z}}}[\cosh({\tfrac {qE_{z}}{m_{0}c}}\tau )-1]\right)

Die Bahnkurve der Teilchen ergibt sich mit $\tau =x/(\gamma _{0}v_{0})$

z(x)={\tfrac {\gamma _{0}m_{0}c^{2}}{qE_{z}}}\left[\cosh({\tfrac {qE_{z}}{\gamma _{0}m_{0}v_{0}c}}\,x)-1\right]=2{\tfrac {\gamma _{0}m_{0}c^{2}}{qE_{z}}}\sinh ^{2}({\tfrac {1}{2}}{\tfrac {qE_{z}}{\gamma _{0}m_{0}v_{0}c}}\,x)

Darstellung in Differentialformschreibweise

Homogene Maxwell-Gleichungen in Differentialformschreibweise

Der Feldstärketensor ${\mathsf {F}}$ ist eine Differentialform zweiter Stufe auf der Raumzeit mit der Metrik $\eta _{ab}=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$ :

{\mathsf {F}}={\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }

Mit dem Levi-Civita-Symbol $\epsilon ^{0123}=+1$ und der Matrixdarstellung der kovarianten Komponenten des Faraday-Tensors

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{pmatrix}}

gilt:^[16]

{\mathsf {F}}=E_{x}\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x+E_{y}\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}y+E_{z}\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}z-B_{x}\,{\text{d}}y\wedge {\text{d}}z-B_{y}\,{\text{d}}z\wedge {\text{d}}x-B_{z}\,{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y

Die äußere Ableitung ist:

{\begin{aligned}{\text{d}}{\mathsf {F}}&=-(\nabla \cdot {\vec {B}})\,{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z-({\dot {B}}_{x}+\partial _{y}E_{z}-\partial _{z}E_{y})\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z-\\&-({\dot {B}}_{y}+\partial _{z}E_{x}-\partial _{x}E_{z})\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}z\wedge {\text{d}}x-({\dot {B}}_{z}+\partial _{x}E_{y}-\partial _{y}E_{x})\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x\wedge {\text{d}}y\end{aligned}}

Verschwindet ${\text{d}}{\mathsf {F}}=0$ , so ergibt sich die erste Gruppe der Maxwell-Gleichungen im Vakuum:^[17]

\color {Red}{\text{d}}{\mathsf {F}}=0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot {\vec {B}}=0\quad {\text{und}}\quad \nabla \times {\vec {E}}+{\dot {\vec {B}}}=0

Mit ${\text{d}}{\mathsf {F}}=0$ ist der elektromagnetische Feldstärketensor eine geschlossene 2-Form. Damit gibt es ein Vektorpotential $A_{i}=({\tfrac {\phi }{c}},-{\vec {A}})$ als 1-Form:

{\mathsf {A}}=A_{i}\,{\text{d}}x^{i}={\tfrac {\phi }{c}}\,c{\text{d}}t-A_{x}\,{\text{d}}x-A_{y}\,{\text{d}}y-A_{z}\,{\text{d}}z=\phi {\text{d}}t-{\vec {A}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}

mit der äußeren Ableitung

{\text{d}}{\mathsf {A}}=\textstyle (-\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}})\cdot {\text{d}}t\wedge {\text{d}}{\vec {r}}-(\partial _{y}A_{z}-\partial _{z}A_{y})\,{\text{d}}y\wedge {\text{d}}z-(\partial _{z}A_{x}-\partial _{x}A_{z})\,{\text{d}}z\wedge {\text{d}}x-(\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x})\,{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y={\mathsf {F}}

falls ${\vec {E}}=-\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}$ und ${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$ sind.

Inhomogene Maxwell-Gleichungen in Differentialformschreibweise

Mit dem dualen elektromagnetischen Feldstärketensor

{\widetilde {F}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }{\widetilde {F}}^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }=\left({\begin{matrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\-B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\-B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\\\end{matrix}}\right)

wird der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf den elektromagnetischen Feldstärketensor ${\mathsf {F}}$ gebildet:^[18]

\star {\mathsf {F}}={\tfrac {1}{2}}{\widetilde {F}}_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }=B_{x}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x+B_{y}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}y+B_{z}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}z+{\tfrac {1}{c}}E_{x}\,{\text{d}}y\wedge {\text{d}}z+{\tfrac {1}{c}}E_{y}\,{\text{d}}z\wedge {\text{d}}x+{\tfrac {1}{c}}E_{z}\,{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y

Hier ist die äußere Ableitung:

{\begin{aligned}{\text{d}}{\star {\mathsf {F}}}&=({\tfrac {1}{c}}\nabla \cdot {\vec {E}})\,{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z+({\tfrac {1}{c^{2}}}{\dot {E}}_{x}-\partial _{y}B_{z}+\partial _{z}B_{y})\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z+\\&+({\tfrac {1}{c^{2}}}{\dot {E}}_{y}-\partial _{z}B_{x}+\partial _{x}B_{z})\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}z\wedge {\text{d}}x+({\tfrac {1}{c^{2}}}{\dot {E}}_{z}-\partial _{x}B_{y}+\partial _{y}B_{x})\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x\wedge {\text{d}}y\end{aligned}}

Der Dual der kovarianten Viererstromdichte $j_{\mu }=(\rho c,-{\vec {j}}\,)$ ist ${\widetilde {j}}^{\mu \nu \alpha }=\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\,j_{\beta }$ bzw. in Matrixschreibweise:^[18]

({\widetilde {j}}^{\mu \nu \alpha })=\left({\begin{matrix}{\widetilde {j}}^{123}\\{\widetilde {j}}^{023}\\{\widetilde {j}}^{031}\\{\widetilde {j}}^{012}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-\rho c\\-j_{x}\\-j_{y}\\-j_{z}\\\end{matrix}}\right)

oder auch kovariant:

({\widetilde {j}}_{\mu \nu \alpha })=\eta _{\mu \rho }\eta _{\nu \sigma }\eta _{\alpha \beta }{\widetilde {j}}^{\rho \sigma \beta }=\left({\begin{matrix}\rho c\\-j_{x}\\-j_{y}\\-j_{z}\\\end{matrix}}\right)

Die Hodge-duale Dreiform der Stromdichte lautet somit:

\star {\mathsf {j}}={\widetilde {j}}_{\mu \nu \alpha }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\rho c\,{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z-j_{x}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z-j_{y}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}z\wedge {\text{d}}x-j_{z}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x\wedge {\text{d}}y

Damit entspricht die Beziehung

\color {Red}{\text{d}}\,{\star {\mathsf {F}}}=\mu _{0}\,{\star {\mathsf {j}}}

den inhomogenen Maxwell-Gleichungen:^[19]

{\tfrac {1}{c}}\nabla \cdot {\vec {E}}=\mu _{0}c\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot {\vec {E}}={\tfrac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho ,

und

{\tfrac {1}{c^{2}}}{\dot {\vec {E}}}-\nabla \times {\vec {B}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\quad \Rightarrow \quad {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times {\vec {B}}={\vec {j}}+\varepsilon _{0}{\dot {\vec {E}}}

Aus der Tatsache ${\text{d}}^{2}=0$ folgt die Ladungserhaltung ${\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0$ , denn^[19]

{\text{d}}^{2}\,{\star {\mathsf {F}}}=0=\mu _{0}\,{\text{d}}\,{\star {\mathsf {j}}}=({\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\vec {j}})\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x\wedge {\text{d}}y\wedge {\text{d}}z

Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differentialformschreibweise $\ast \mathrm {d} F=j_{\mathrm {mag} }$ und $\ast \mathrm {d} \ast \mathrm {F} =j$ mit der magnetischen Stromdichte $j_{\mathrm {mag} }$ und der elektrischen Stromdichte $j$ , beide als 1-Formen wiederum auf der Raumzeit.

Da in der Regel von der Abwesenheit magnetischer Ladungen ausgegangen wird, ist $\mathrm {d} F=0$ , und der Feldstärketensor kann somit als Ableitung $F=\mathrm {d} A$ einer 1-Form $A$ dargestellt werden. $A$ entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.

Beispiele

Differentialform der Feldstärke einer Punktladung

Das elektrische Feld ${\vec {E}}={\tfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\tfrac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}=E_{r}{\vec {e}}_{r}$ einer Punktladung $q$ wird im elektromagnetischen Feldstärketensorin Polarkoordinaten $(r,\vartheta ,\varphi )$ wie folgt dargestellt:^[20]^[21]

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{r}/c&0&0\\-E_{r}/c&0&0&0\\0c&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}

Damit lässt sich der Feldstärketensor der ruhenden Punktladung $q$ als Differentialform schreiben als

{\mathsf {F}}={\tfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\tfrac {q}{r^{2}}}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} r=-{\tfrac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\mathrm {d} t\land \mathrm {d} {\tfrac {1}{r}}

mit dem Abstand $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ . Es gilt $\mathrm {d} {\mathsf {F}}=0$ .

Sein dualer Tensor

{\widetilde {F}}_{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&E_{r}/c\\0&0&-E_{r}/c&0\\\end{matrix}}\right)

lautet als Differentialform^[22]

{\star }{\mathsf {F}}={\widetilde {F}}_{23}\,{\text{d}}x^{2}\wedge {\text{d}}x^{3}={\tfrac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\tfrac {1}{c}}r^{2}\sin \vartheta \,{\text{d}}\vartheta \wedge {\text{d}}\varphi ={\tfrac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\sin \vartheta \,{\text{d}}\vartheta \wedge {\text{d}}\varphi

Es gilt ebenso die inhomogene Maxwell-Gleichung mit der Ladungsdichte $\rho$ und $\mu _{0}c={\tfrac {1}{\varepsilon _{0}c}}$ :

\int _{\partial V}{\star }{\mathsf {F}}=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\tfrac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\sin \vartheta \,{\text{d}}\vartheta \wedge {\text{d}}\varphi ={\tfrac {q}{\varepsilon _{0}c}}=\mu _{0}\int _{V}\rho c\,{\text{d}}V

Eine entsprechende Lorentztransformation liefert den Feldstärketensor einer gleichförmig bewegten Ladung.

Differentialform der Feldstärke einer ebenen Welle

Die ebene Welle mit Kreisfrequenz $\omega$ bewegt sich in $z$ -Richtung mit einer Polarisation in $x$ -Richtung. Für die Amplituden des elektrischen Feldes $E_{x}$ und der magnetischen Flussdichte $B_{y}$ gilt:^[23]

{\tfrac {1}{c}}E_{x}=B_{y}={\tfrac {1}{c}}E_{0}\cos \omega (t-{\tfrac {1}{c}}z)

Der Faraday-Feldstärketensor einer ebenen Welle ist also

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{c}}E_{x}&0&0\\-{\tfrac {1}{c}}E_{x}&0&0&B_{y}\\0c&0&0&0\\0&-B_{y}&0&0\\\end{pmatrix}}

oder als 2-Form:

{\begin{aligned}{\mathsf {F}}&=E_{x}\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x-B_{y}\,{\text{d}}z\wedge {\text{d}}x=E_{0}\cos \omega (t-{\tfrac {1}{c}}z)\,{\text{d}}t\wedge {\text{d}}x-{\tfrac {1}{c}}E_{0}\cos \omega (t-{\tfrac {1}{c}}z)\,{\text{d}}z\wedge {\text{d}}x=\\&=E_{0}\cos \omega (t-{\tfrac {1}{c}}z){\text{d}}(t-{\tfrac {1}{c}}z)\wedge {\text{d}}x\qquad {\text{mit }}{\text{d}}{\mathsf {F}}=0\end{aligned}}

Als Differentialform ergibt sich sein dualer Tensor

{\widetilde {F}}_{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&0&B_{y}&0\\0&0&0&0\\-B_{y}&0&0&E_{x}/c\\0&0&-E_{x}/c&0\\\end{matrix}}\right)

zu:

{\star }{\mathsf {F}}=B_{y}\,c{\text{d}}t\wedge {\text{d}}y-{\tfrac {1}{c}}E_{x}{\text{d}}z\wedge {\text{d}}y={\tfrac {1}{c}}E_{0}\cos \omega (t-{\tfrac {1}{c}}z){\text{d}}(t-{\tfrac {1}{c}}z)\wedge {\text{d}}y

Die 4-Form ${\tfrac {1}{2}}F\land *F$ ist die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes.

Ableitung der vektoriellen Feldgrößen

Relativ zur Bewegung eines Beobachters durch Raum und Zeit kann der Feldstärketensor in einen elektrischen und einen magnetischen Anteil zerlegt werden. Der Beobachter nimmt diese Anteile als elektrische beziehungsweise magnetische Feldstärke wahr. Unterschiedliche zueinander bewegte Beobachter können daher unterschiedliche elektrische oder magnetische Feldstärken wahrnehmen.

Beispiel: Wird in einem elektrischen Generator relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärketensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.

In flacher Raumzeit (Minkowski-Raum) lassen sich die Vektorfelder ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$ aus der Koordinatendarstellung $F={\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\land \mathrm {d} x^{\nu }$ des Feldstärketensors ablesen: man erhält die obige Matrixdarstellung. Eine allgemeinere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung $F=u\land E+\ast (u\land B)$ , wo $u$ einem zeitartigen und $E$ , $B$ raumartigen Vektorfeldern entsprechen.^[24]

Auftreten in der Quantenelektrodynamik

Der Feldstärketensor tritt direkt in der QED-Lagrangedichte (hier ohne Eichfixierungsterme) auf:

{\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}\left[i\gamma _{\mu }D^{\mu }-m\right]\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

Literatur

J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3.
C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.

Einzelnachweise

[1]
Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik 2. Elektrodynamik. 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2018, ISBN 978-3-662-56117-1, S. 243.
[2]
Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik 2. Elektrodynamik. 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2018, ISBN 978-3-662-56117-1, S. 242.
[3]
Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik 2. Elektrodynamik. 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2018, ISBN 978-3-662-56117-1, S. 246.
[4]
Tom Lancaster and Stephen J. Blundell: General Relativity for the Gifted Amateur -. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2025, ISBN 978-0-19-286740-7, S. 458.
[5]
John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 5. Auflage. de Gruyter, Berlin 1981, ISBN 3-11-008074-5, S. 642.
[6]
Torsten Fließbach: Elektrodynamik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik II. 6. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9, S. 167.
[7]
John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 5. Auflage. de Gruyter, Berlin 1981, ISBN 3-11-008074-5, S. 643.
[8]
Torsten Fließbach: Elektrodynamik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik II. 6. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9, S. 168.
[9]
Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik 2. Elektrodynamik. 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2018, ISBN 978-3-662-56117-1, S. 244.
[10]
Richard P. Feynman and Robert B. Leighton and Matthew Sands: Feynman Vorlesungen über Physik, Band 2: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. 5. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58107-2, S. 515.
[11]
Richard P. Feynman and Robert B. Leighton and Matthew Sands: Feynman Vorlesungen über Physik, Band 2: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. 5. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58107-2, S. 516.
[12]
Torsten Fließbach, Hans Walliser: Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik - Repertorium und Übungsbuch. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-2832-5, S. 226.
[13]
Torsten Fließbach, Hans Walliser: Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik - Repertorium und Übungsbuch. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-2832-5, S. 236.
[14]
Torsten Fließbach, Hans Walliser: Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik - Repertorium und Übungsbuch. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-2832-5, S. 226.
[15]
Torsten Fließbach, Hans Walliser: Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik - Repertorium und Übungsbuch. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-2832-5, S. 234.
[16]
C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0, S. 99.
[17]
C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0, S. 111.
[18]
Roger Penrose: The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. 1. Auflage. Alfred A. Knopf, New York 2005, ISBN 0-679-45443-8, S. 443.
[19]
Roger Penrose: The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. 1. Auflage. Alfred A. Knopf, New York 2005, ISBN 0-679-45443-8, S. 445.
[20]
Richard P. Feynman and Robert B. Leighton and Matthew Sands: Feynman Vorlesungen über Physik, Band 2: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. 5. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58107-2, S. 60.
[21]
Leonard Susskind, Art Friedman: Elektrodynamik und Relativität - Das Theoretische Minimum : Alles, was Sie brauchen, um Physik zu treiben. 1. Auflage. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-60733-6, S. 222.
[22]
C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0, S. 107.
[23]
C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0, S. 103.
[24]
Sylvan A. Jacques: Relativistic Field Theory of Fluids. arxiv:physics/0411237