Endlichkeitssatz von Ahlfors

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und ${\displaystyle \Omega \subset \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}}$ ihr Diskontinuitätsbereich.

Dann hat ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega }$ endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.

Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers^[1] zurück.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit ${\displaystyle N}$ Erzeugern, dann ist

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 4\pi (N-1)}$

mit Gleichheit nur für Schottky-Gruppen.

Für jede ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Zusammenhangskomponente ${\displaystyle \Omega _{1}}$ gilt

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 2Area(\Gamma \backslash \Omega _{1})}$

mit Gleichheit nur für Fuchssche Gruppen erster Art.

Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von ${\displaystyle Isom(\mathbb {H} ^{n}),n\geq 4}$, gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.^[2][3]

Der Satz wurde 1964 von Ahlfors bewiesen^[4] und der Beweis 1967 von Greenberg^[5] vervollständigt. Laut Ahlfors hatte Bers zuvor bereits den analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab später Dennis Sullivan, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.