Erdbebenschatten

Die prinzipiellen Wellenfrontmuster können an eine 3-schaligen, flächenhaften Modell behandelt werden, wobei die Schalen sich in der Geschwindigkeit der Erdbebenwellen respektive im Brechungsindex unterscheiden. Es werden zwei Muster gefunden: ein Muster mit zwei Brechung an den Diskontinuitäten der Brechungsindices und ein Muster mit Reflexion an denselben. Bei letzterem Muster erfährt die Totalreflexion eine Sonderbehandlung. Innerhalb der einzelnen Schalten ist jedoch der Brechungsindex nicht konstant, sondern kann kontinuierlich zu- oder abnehmen, was an einem vielschaligen Modell demonstriert wird.

Bei nach innen abnehmendem Brechungsindex beginnend beim Epizentrum am Kreisumfang ist der Ausgangswinkel (nachfolgend mit α benannte) gegenüber dem Eingangswinkel (nachfolgend mit ɣ benannt) bezogen auf den Radius größer. Es tritt also in Richtung des Kreismittelpunkts im ersten Quadranten bei jeder Brechung eine Linksdrehung ein bis zur Tangente oder Totalreflexion an der nächsten Diskontinuität. Danach verläuft die Strahl nach außen mit zunehmendem Brechungsindex. Der Ausgangwinkel ist kleiner als der Eingangswinkel, folglich weiterhin in Strahlrichtung eine Linksdrehung. Dieser Fall trifft im 3-Schalenmodell beim Übergang von flüssig nach fest und wieder zurück nach flüssig zu (mittlere – innere Schale). Bei nach innen zunehmendem Brechungsindex beginnend beim Epizentrum am Kreisumfang ist der Ausgangswinkel gegenüber dem Eingangswinkel bezogen auf den Radius kleiner. Es tritt also in Richtung des Kreismittelpunkts im ersten Quadranten bei jeder Brechung eine Rechtsdrehung ein. Nach der Tangierung einer inneren Schale bei Eingangswinkel 90 Grad ist der Ausgangwinkel 90 Grad und der Strahl verläuft nach außen in Richtung abnehmendem Brechungsindex, also ist der Ausgangswinkel größer als der Eingangswinkel. Der Strahlverlauf ist weiterhin rechtsdrehend. Dieser Fall trifft im 3-Schalenmodell beim Übergang von fest nach flüssig und wieder zurück nach fest zu (äußere – mittlere Schale). Die analytische Ableitung zu dieser vorangegangener verbalen Ableitungen folgt. Neben der unsteten, abrupten Änderung des Brechungsindices gibt es die kontinuierlichen Änderung desselben. Dies wird versucht, durch eine zwiebelmusterähnliches Vielfachschalenmodell mit kleinsten Änderungen des Brechungsindices und des Radius anzunähern. Wird die geradlinige Wellenausbreitung mit konstanter Geschwindigkeit der äußersten Schale vom Epizentrum zur Wahrnehmung bei φ für die Laufzeit als Vergleichswert angesetzt, so nimmt die Laufzeit für nach innen zunehmenden Brechungsindex – abnehmender Geschwindigkeit der Erdbebenwellen – gegenüber dem Vergleichswert grundsätzlich zu, für nach innen abnehmendem Brechungsindex – zunehmender Geschwindigkeit – kann sie je nach den Werten zu- oder abnehmen.

• 
  2-fach gebrochene Wellenfront und Tangente an der zweiten Diskontinuität
• 
  2-fach gebrochene Wellenfront mit Spiegelung an der zweiten Diskontinuität

Für die zweifach gebrochene Wellenfront tangierend an der zweiten Diskontinuität am Radius r2 gilt:
${\displaystyle \textstyle \gamma 0=\arcsin({\frac {r0\sin(\alpha )}{r1}})}$, Sinussatz
${\displaystyle \textstyle \varphi 0=\gamma 0-\alpha }$, Winkelsumme im Dreieck
${\displaystyle \textstyle \alpha 1=\arcsin({\frac {n0\sin(\gamma 0)}{n1}})}$, Snelliussches Brechungsgesetz
${\displaystyle \textstyle \varphi 1=90\ Grad-\alpha 1}$, Winkelsumme im Dreieck
Der Wellenfrontverlauf ist symmetrisch zu ${\displaystyle \textstyle {\frac {\varphi 1}{2}}=\varphi 0+\varphi 1}$. Somit ergibt sich für die äußere Wahrnehmung gegenüber dem Epizentrum ein Winkel von
${\displaystyle \textstyle \varphi (\alpha ,i=1)=2(\varphi 0+\varphi 1)=2(\gamma 0-\alpha +90\ Grad-\alpha 1)=2(\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n0\ r1}})-\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n0\ r0}})+90\ Grad-\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r1}}))}$
Wird ein Radius r2 wie folgt definiert ${\displaystyle \textstyle r2=r1\sin(\alpha 1)}$ lässt sich der Term „90 Grad“ umformen in
${\displaystyle \textstyle 90\ Grad=\arcsin(1)=\arcsin({\frac {r1\sin(\alpha 1)}{r2}})=\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r2}})}$
und der dritte Term in φ(α,i=1) ist mit dem ersten Term regelkonform sowie der zweite mit dem vierten Term.
Der Wellenfrontverlauf in obiger graphischer Darstellung in (x, y)-Modus bezogen auf den Kreismittelpunkt für die 5 Punkte ergibt sich wie folgt:

P0${\displaystyle \textstyle (-r0,0)}$,

P1${\displaystyle \textstyle (-r1\cdot \cos(\varphi 0),r1\cdot \sin(\varphi 0))}$,

P2${\displaystyle \textstyle (-r2\cdot \cos(\varphi 0+\varphi 1),r2\cdot \sin(\varphi 0+\varphi 1))}$,

P3${\displaystyle \textstyle (-r1\cdot \cos(\varphi 0+2\varphi 1),r1\cdot \sin(\varphi 0+2\varphi 1))}$,

P4${\displaystyle \textstyle (-r0\cdot \cos(2\varphi 0+2\varphi 1),r0\cdot \sin(2\varphi 0+2\varphi 1))}$.

Alle weiteren graphischen Darstellung der Wellenfrontmuster beruhen auf diesem Muster.

Für die zweifach gebrochene und gespiegelte Wellenfront an der zweiten Diskontinuität von n1 zu n2 gilt:
${\displaystyle \textstyle \gamma 1=\arcsin({\frac {r1\sin(\alpha 1)}{r2}})=\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r2}})}$, Sinussatz
${\displaystyle \textstyle \varphi S1=\gamma 1-\alpha 1}$, Winkelsumme im Dreieck
und somit für die äußere Wahrnehmung
${\displaystyle \textstyle \varphi S(\alpha )=2(\varphi 0+\varphi S1)=2(\gamma 0-\alpha +\gamma 1-\alpha 1)=2(\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n0\ r1}})-arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n0\ r0}})+\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r2}})-arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r1}}))}$.
Beide Ergebnisse unterscheiden sich nur in dem dritten Term des rechten Winkels und ɣ1.

Es wird nunmehr die Krümmung der Wellenfrontausbreitung untersucht, wenn in dem Medium der Brechungsindex in Grenzen linear zu- oder abnimmt. Dazu wird dieses globale Medium in viele schmale Schalen ähnlich einer Zwiebel zerlegt. Die Anzahl der Schalen betrage k. Die Änderung des Brechungsindices von Schale zu Schale sei ∆n, jene des Radius ∆r. Der Brechungsindex der i-ten Schale vom Radius r(i) = r(0) - ∆r*i bis r(i+1) betrage n(i) = n(0) - ∆n*i. ∆n ist positiv für nach innen abnehmendem Brechungsindex in Übereinstimmung mit dem nach innen abnehmendem Radius und negativ für zunehmenden Brechungsindex. Das Medium wird in m Teile untergliedert, wobei für einen ungestörten Verlauf der Wellenfront i ≤ m ≤ Minimum von r(0)/∆r und n(0)/∆n sein sollte. Es gelte
∆r = (r0 – r(m))/m, ∆n = (n0 – n(m))/m
und weiterhin mit den Substitutionen
∆r/r0 ≡ R und ∆n/n0 ≡ N
(∆n/n0)/(∆r/r0) Ξ N/R ≡ e unabhängig von k sowie
e ≶ 0 für n(0) ≶ n(m) und r(0) > r(m).
Allgemein gilt im ersteren Fall für die Summe über alle Schalen von k = 0 bis i
${\displaystyle \textstyle \varphi (i,\alpha )=2\cdot \sum _{k=0}^{i}\left(\arcsin \left({\frac {n(0)r(0)\sin(\alpha )}{n(k)r(k+1)}}\right)-\arcsin \left({\frac {n(0)r(0)\sin(\alpha )}{n(k)r(k)}}\right)\right).}$
Die Parameter α und i sind nicht unabhängig voneinander, wie der elementare Fall für i=2 zeigte. Daher wird der Ausgangswinkel α dahingehend spezifiziert, dass die Wellenfront die i+1-Diskontinuität tangiert. Hierfür gilt dann am obigen Beispiel mit 3 Schalen
${\displaystyle \textstyle \alpha 1=\arcsin({\frac {r1}{r2}})}$ und weiter
${\displaystyle \textstyle \gamma 0=\arcsin({\frac {n1\sin(\alpha 1)}{n0}})=\arcsin({\frac {n1\ r2)}{n0\ r1}})}$ und für den Ausfallswinkel am Epizentrum
${\displaystyle \textstyle \alpha (i=1)=\arcsin({\frac {r1\sin(\gamma 0)}{r0}})=\arcsin({\frac {n1\ r2)}{n0\ r0}}).}$
Beispielrechnungen für 4 und weiter Schalen ergeben allgemein
${\displaystyle \textstyle \alpha (i)=\arcsin \left({\frac {n(i)r(i+1)}{n(0)r(0)}}\right)=\arcsin \left({\frac {(n(0)-\Delta n\cdot i)(r(0)-\Delta r\cdot (i+1))}{n(0)r(0)}}\right).}$
Wenn also α eine Funktion des Schalenindex i ist, so ist i eine Funktion vom Ausfallwinkel α und es ergibt sich für die Schale mit dem minimalen Radius rmin = r(i+1) die quadratische Gleichung für i
${\displaystyle \textstyle 0=i^{2}+(1-{\frac {1+e^{-1}}{R}})i+{\frac {1}{eR^{2}}}-{\frac {1}{eR}}-{\frac {sin(\alpha )}{eR^{2}}}}$.
Auflösung nach i bei negativem p und negativem q ergibt
${\displaystyle \textstyle i=-{\frac {p}{2}}-\surd {\left(\ \left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q\right)}}$ mit ${\displaystyle \textstyle p=1-{\frac {1+e^{-1}}{R}}}$ und ${\displaystyle \textstyle q={\frac {1}{eR^{2}}}-{\frac {1}{eR}}-{\frac {sin(\alpha )}{eR^{2}}}}$.
Aus dieser Gleichung leiten sich zwei Bedingungen für die Parameter ab:
Für den Scheibenindex i gilt i ≥ 0 und folglich
${\displaystyle \textstyle 0\leq {\frac {1}{eR^{2}}}-{\frac {1}{eR}}-{\frac {sin(\alpha )}{eR^{2}}}.}$
Auflösung nach α ergibt
${\displaystyle \textstyle \alpha \leq \arcsin(1-R)=\arcsin({\frac {r-\Delta r}{r0}})=\arcsin({\frac {r1}{r0}})=\alpha (i=0)}$
Bei diesem Winkel handelt es sich um Winkel der Tangente an die erste, äußerste Diskontinuität. Für eine Ausfallswinkel von α(i=0) ≤ α ≤ 90 Grad erfolgt keine Brechung.
Weiterhin muss der Wert unter der Wurzel größer gleich Null sein, woraus folgt
${\displaystyle \textstyle \sin(\alpha )\geq -{\frac {eR^{2}}{4}}+{\frac {eR}{2}}+{\frac {3R}{2}}-{\frac {e}{4}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4e}}.}$
Bei dem kleinsten Wert von sin(α) von 0 folgt
${\displaystyle \textstyle 0\geq -{\frac {eR^{2}}{4}}+{\frac {eR}{2}}+{\frac {3R}{2}}-{\frac {e}{4}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4e}}.}$
und für den Grenzfall R -> 0:
${\displaystyle \textstyle 0\leq \left(e+1\right)^{2}}$ also ${\displaystyle \textstyle e\geq -1}$
Für abnehmendem Brechungsindex mit e ≥ 0 ist diese Bedingung a priori erfüllt, für zunehmenden Brechungsindex bedarf diese Bedingung einer Sonderbehandlung. Der analytische Ausdruck kann nicht einer speziellen Geometrie zugeordnet werden. Variantenrechrechnungen für i=1 haben gezeigt, dass der Einfallswinkel ɣ0 90 Grad nicht über schreiten darf. Es ist das Gegenstück zur Totalreflexion, bei welcher der Ausfallswinkel 90 Grad nicht überschreiten darf. Bisher wurde die Wellenausbreitung von außen nach innen betrachtet. Wird die Richtung vertauscht von innen nach außen handelt es sich um die Totalreflexion, da Einfalls- und Ausfallswinkel damit vertauscht werden. Es gilt also für ɣ0 mit α(i):
${\displaystyle \textstyle 90\ grad\geq \gamma (i)=\arcsin({\frac {r0\sin(\alpha (i))}{r1}})=\arcsin({\frac {n(i)r(i+1)}{n(0)r(1)}})=\arcsin({\frac {(n(0)-\Delta n\cdot i)(r(0)-\Delta r\cdot (i+1)}{(n(0)\ (r(0)-\Delta r)}}).}$
Substitution von e und R führt zu
${\displaystyle \textstyle e\geq {\frac {-1}{1-R(1+i)}}\approx -1+R(1+i)\approx -1}$
Dabei sollte für alle inneren Einfallswinkel ɣ(k) von k=1 bis i gelten ɣ(i) ≥ ɣ(k). Verfährt man wie eben, ergibt sich
${\displaystyle \textstyle e\geq -1+R(1+i)\geq -1+R(1+k)}$.
Also ist i ≥ k, was vorausgesetzt war.

Aus der Lösung der quadratischen Gleichung für i folgt der minimale Radius rmin = r0 - ∆r*(i+1).
Substitution von α(i) in φ(α,i) ergibt
${\displaystyle \textstyle \varphi (i)=2\cdot \sum _{k=0}^{i}\left(\arcsin \left({\frac {n(i)r(i+1)}{n(k)r(k+1)}}\right)-\arcsin \left({\frac {n(i)r(i+1)}{n(k)r(k)}}\right)\right)}$.
Dabei wurde der Term „90 Grad“ für k = i in Übereinstimmung mit oben wie folgt ersetzt
${\displaystyle \textstyle 90\ Grad=\arcsin(1)=\arcsin({\frac {n(i)r(i+1)}{n(i)r(i+1)}}).}$
Die Ergebnisse für abnehmenden und zunehmenden Brechungsindex zeigen nachfolgende Diagramme.

• 
  Wellenfrontmuster bei nach innen abnehmendem Brechungsindex in einer Vielfachschale
• 
  Wahrnehmung φ(α) bei nach innen abnehmendem Brechungsindex in Schritten von i = 1, 10, 20 bis 160 von rechts nach links

• 
  Wellenfrontmuster bei nach innen zunehmendem Brechungsindex in einer Vielfachschale
• 
  Wahrnehmung φ(α) bei nach innen zunehmendem Brechungsindex von i = 1 bis 200 von rechts nach links
• 
  Wahrnehmung φ(α) bei nach innen zunehmendem Brechungsindex in der Umgebung des Antipoden des Epizentrums von i = 150 bis 200 von rechts nach links (Ausschnitt aus dem linken Diagramm)

Der abnehmende Brechungsindex trifft vorrangig auf die Verhältnisse im Erdkörper zu, nicht jedoch der zunehmende Brechungsindex. Bemerkenswert ist das nichtlineare Verhalten hierbei, das die Wahrnehmung dem Epizentrum entgegenkommt und damit eine zweifache Wahrnehmung von φ(α) und φ(-α) bzw. von φ(-α) und φ(α) auftritt. Bei φ=180 Grad kommt eine dritte Wahrnehmung hinzu: der ungebrochene Durchlauf bei α=0 Grad. Letzterer erfolgt zeitlich als erstes gefolgt von den zeitgleichen anderen beiden Wellen.

Obige Differenz ist die kleine Differenz zweier großer Werte. Für ∆r und ∆n gegen Null bietet sich die Taylorreihenentwicklung von arcsin an. Es ergibt sich näherungsweise
${\displaystyle \textstyle \varphi (i)=2\cdot \sum _{k=0}^{i}{\frac {x(i,k)}{\sqrt {1-x(i,k)^{2}}}}\cdot {\frac {\Delta r}{r(k)}}}$ mit ${\displaystyle \textstyle x(i,k)={\frac {n(i)r(i+1)}{n(k)r(k+1)}}}$.
Bei großen Schalenindices i respektive geringem Radius rmin bricht die Näherung ab, da ∆r/r(k) mit zunehmendem k also abnehmendem r(k) anwächst im Gegensatz zur Voraussetzung dieser Beziehung.

Für den räumlichen Erdkörper wird abstrakt ein flächenhaftes 3-Schalenmodell fest-flüssig-fest angenommen, d. h. kleinerer-größerer-kleinerer Brechungsindex. Es gelten folgende Werte für die Radien r0=3, r1=2 und r3=1 sowie für die Brechungsindices für die äußere Schale (r von 2 bis 3) n0=1, für die mittlere Schalte (r von 1 bis 2) n1=1,5 und für den inneren Kern (r von 0 bis 1) n2≡n0=1. Somit ergeben sich Strahlengänge vom ungebrochenen Strahl bis zum 4-fach gebrochen Strahl. Folgende Varianten sind zu unterscheiden, beginnend mit der abstrakten tangentialen Welle Ausfallswinkel α=90 Grad und endend mit der Welle zum Mittelpunkt α=0 Grad:

Fall 1

Ungebrochene Welle von der Oberflächenwelle bis zur Tangente an der ersten Diskontinuität von n0 zu n1 (α0=90 Grad bis ${\displaystyle \textstyle \alpha 1=\arcsin({\frac {r1}{r0}})}$ =41,81 Grad; Verlauf nur in der äußeren Schale).

Fall 2

2-fach gebrochene Welle gemäß vorangehendem Abschnitt von der Tangente an der ersten Diskontinuität bis zur Tangente an der zweiten Diskontinuität von n1 zu n3=n0 (von α1=41,81 Grad bis ${\displaystyle \textstyle \alpha 2=\arcsin({\frac {n1\ r2}{n0\ r0}})}$ =30,00 Grad; Verlauf in der äußeren und mittleren Schale).

Fall 3

2-fach gebrochenen Welle mit Totalreflexion gemäß vorangehendem Abschnitt von der Tangente an der zweiten Diskontinuität bis zum dortigen Ausfallswinkel von 90 Grad infolge n2≡n0 < n1 (von α2=30 Grad bis ${\displaystyle \textstyle \alpha 3=\arcsin({\frac {r2}{r0}})}$ =19,47 Grad; Verlauf in der äußeren und mittleren Schale wie Fall (2)).

Fall 4

4-fach gebrochene Welle vom Ende der Totalreflexion bis zum Durchmesser (von α3=19,47 Grad bis α4=0 Grad; Verlauf in allen drei Schalen).

Die 4 Fälle sind mit abnehmendem α aufgelistet, die Wahrnehmung φ an der Oberfläche nach Durchdringung der unterschiedlichen Schalen geht damit nicht konform. Die Wellenfrontmuster sind symmetrisch bezüglich φ/2. Für obige Fälle ergeben sich folgende Bereiche der Wahrnehmung ergänzt um deren Eigenschaften. Zu diesen gehört die Strahldichte S, die Lauflänge und die Laufzeit als Indikatoren der Erdbebenstärke. Unter der Strahldichte wird das Quadrat der Winkeldifferenz ausgesendeter Strahlen bezogen auf die dazugehörige Winkeldifferenz wahrgenommener Strahlen verstanden:
${\displaystyle \textstyle S=\left({\frac {\Delta \alpha }{\Delta \varphi }}\right)^{2}}$.
Die detaillierte Behandlung oben genannter Fälle ergibt insbesondere für den Winkel φ und die Strahlstärke S(α) in Abhängigkeit vom Ausfallswinkel α folgende Ergebnisse:

Fall 1

${\displaystyle \textstyle \varphi (\alpha ,i=0)=2(90\ Grad-\alpha )}$

d. h. φ(α=90 Grad)=0 bis φ(α1=41,81 Grad)=96,38 Grad (rechtsläufig), S = 1/4 über den gesamten Bereich,

Strahllänge ${\displaystyle \textstyle L=2r0\cos(\alpha )}$.

Fall 2

${\displaystyle \textstyle \varphi (\alpha ,i=1)=\varphi (\alpha ,i=0)+2\left(\arcsin({\frac {r0\sin(\alpha )}{r1}})-\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r1}})\right)}$

d. h. φ(α1=41,81 Grad)=81,86 Grad bis φ(α2=30 Grad)=168,98 Grad. Zum besseren Verständnis wird der Kernbereich (r2=1) ausgeblendet. :Der Ausgangswinkelbereich von α1=41,81 Grad bis 0 Grad ergibt einen verdichteten Wahrnehmungsbereich von 157,16 Grad bis 180 Grad, also eine durchschnittliche Strahldichte von etwa 2. Die Summe der Strahlen in diesem Falle wirkt wie eine Sammellinse. Für dieses Strahlenmuster gibt es noch eine Besonderheit. Mit abnehmendem α ist φ zunächst linksläufig im Gegensatz zu Fall (1), erreicht ein Minimum bei φ(αmin=30,603 Grad)=157,16 Grad und ist danach wieder rechtsläufig. Für ein und denselben Winkel φ gibt es nach dem Minimum zwei zeitlich getrennte Wahrnehmungen, die im Minimum auf eine starke Wahrnehmung sich vereinigen. Dadurch ist die Strahldichte in diesem hypothetischen Modell unendlich. Z. B. gilt:

Weitere Informationen φ, α ...

φ	α	Strahllänge	Strahldichte
170 Grad	10,20 Grad	5,986	1,14
	40,16 Grad	6,629	0,025
157,16 Grad Minimum	αmin=30,60 Grad	6,025	ꚙ

Schließen

• 
  Wahrnehmung φ(α) der 2-fach gebrochenen Welle
• 
  Strahldichte S(α) der 2-fach gebrochenen Welle als Funktion von α
• 
  Strahldichte S(φ) für die 2-fach gebrochene Welle als Funktion von φ
• 
  Strahllänge L(φ) der 2-fach gebrochenen Welle als Funktion von φ

Fall 3

${\displaystyle \textstyle \varphi TR(\alpha ,i=1)=2\left(\arcsin({\frac {r0\sin(\alpha )}{r1}})+\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r2}})-\alpha -\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r1}})\right)}$

d. h. φTR(α2=30 Grad)= 157,16 Grad bis φTR(α3=19,47 Grad)= 65,74 Grad und der Verlauf ist weiterhin rechtsläufig. Bei dem hier gewählten Wert des Radius r2 fällt das Minimum von φ(αmin=30,603 Grad)=157,16 Grad nahezu mit dem Grenzwert von φTR(α2=30 Grad)= 157,16 Grad zusammen. Es ergibt sich gemäß Diagramm eine mittlere Steigung für φ(α) von 8,3, folglich eine mittlere Strahldichte S=0,015. Ein ∆α von etwa 10 Grad wird auf ∆φ von etwa 80 Grad „gestreut“, womit ein erheblicher Energieverlust respektive Amplitudenverlust verbunden ist analog einer Zerstreuungslinse.

Fall 4

${\displaystyle \textstyle \varphi TR(\alpha ,i=2)=2\left(90\ Grad+\arcsin({\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r2}})+\arcsin({\frac {r0\sin(\alpha )}{r1}})-\alpha -\arcsin({\frac {r0\sin(\alpha )}{r2}})-{\frac {n0\ r0\sin(\alpha )}{n1\ r1}})\right)}$

d. h. φ(α3=19,47 Grad)=65,74 Grad bis φ(α4=0 Grad)=180 Grad und der Verlauf ist weiterhin rechtsläufig.

Wenn von der geringen Strahlstärke der Fälle (3) und (4) abgesehen wird, verbleiben die zwei wahrnehmbaren Wellenfrontmuster: Fall (1) und Fall (2). Fall (1) wird wahrgenommen von φ=0 Grad bis 96 Grad, Fall (2) von φ=157 Grad (Minimum von φ3) aufwärts. Daraus folgt eine Spalt von φ=96 Grad bis φ=157 Grad, der sogenannte Schatten, wie derselbe real auftritt.^[2] Über das Dublett der Wahrnehmungen nach dem Schattenbereich bei größeren Winkeln als φ erfolgt real keine Aussage. Die zweite Wahrnehmung hängt jedoch auch von der Radiusgröße ab.

• 
  Wahrnehmung φ(α) aller Wellenformen als Funktion von α mit dem unstetigen Schattenbereich
• 
  Strahldichte S(φ) über alle Wellenformen als Funktion von φ

Für den realen Erdkörper liegt der Beginn des Schattenbereiches bei 103 Grad und es gilt nach obiger Ausführung
${\displaystyle \textstyle \varphi TR=2(90\ Grad-\arcsin({\frac {r1}{r0}}))=103\ Grad.}$
Bei gegebenem Radius r0 folgt daraus r1 zu:
${\displaystyle \textstyle r1=r0\sin(90\ Grad-\varphi /2).}$
Für einen Erdradius von r0=6.371 km folgt daraus ein r1=3.966 km gegenüber der Realität von 2.900 km. Der reale Radius ist durch die Linksdrehung des Strahles infolge des abnehmenden Brechungsindices im äußeren Mantel kleiner, wie nebenstehendes Diagramm zeigt. – Eine einfach analytische Berechnung des Endwinkels des Schattenbereiches von 150 Grad ist infolge der Bestimmung des Maximums einer Reihenentwicklung nicht möglich.