Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=1{,}60669{\text{ }}51524{\text{ }}15291{\text{ }}76378{\text{ }}...}$ (Folge A065442 in OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

wobei σ₀(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet.^[1] Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist.^[2] Borwein zeigte 1992, dass allgemein

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{q^{n}-r}}}$     und     ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{q^{n}-r}}}$

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qⁿ irrational, aber nicht liouvillesch sind.^[3]