Eulersche Betafunktion

Mithilfe von Koordinatentransformationen lässt sich die Integraldarstellung verändern und die Identität nachweisen. So gilt mit den Substitutionen ${\displaystyle u={\tfrac {t}{1-t}}}$ und ${\displaystyle v=\arcsin {\sqrt {t}}}$:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{x-1}\mathrm {d} u}{{(1+u)}^{x+y}}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin v)^{2x-1}(\cos v)^{2y-1}\mathrm {d} v.}$

Zum Nachweis der Identität kann das Produkt ${\displaystyle \Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}$ umgeformt werden:

${\displaystyle \Gamma (x)\cdot \Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{x-1}\mathrm {d} u\cdot \int _{0}^{\infty }e^{-v}v^{y-1}\mathrm {d} v=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.}$

Mit ${\displaystyle u=zt}$ und ${\displaystyle v=z(1-t)}$ folgt aus dem Transformationssatz:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z.}$

Somit gilt:

${\displaystyle \Gamma (x)\cdot \Gamma (y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t\cdot \int _{0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\mathrm {d} z=\mathrm {B} (x,y)\cdot \Gamma (x+y).}$

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen. Bei den Integraldarstellungen muss der Realteil von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ positiv sein:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}\mathrm {d} t}{(1+t)^{x+y}}},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}\mathrm {d} t,}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-y)_{n}}{n!\,(x+n)}}}$, wobei ${\displaystyle (1-y)_{n}}$ ein Pochhammer-Symbol bezeichnet.^[3]

Die Betafunktion kann zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:^[4]

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Mithilfe der Gammafunktion ergibt sich für positive ganzzahlige ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}.}$

• Bei festem ${\displaystyle x}$ (bzw. ${\displaystyle y}$) ist ${\displaystyle \mathrm {B} }$ eine meromorphe Funktion von ${\displaystyle y}$ (bzw. ${\displaystyle x}$), und es gilt die Symmetrierelation ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}$.

• Die analytische Fortsetzung der Betafunktion hat Polstellen genau bei ${\displaystyle x=k}$ und ${\displaystyle y=k}$ für ganze Zahlen ${\displaystyle k\leq 0}$.

• Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ für alle positiven rationalen, nicht ganzzahligen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ transzendent ist.^[5]

• Die Ableitung lässt sich mithilfe der Digamma-Funktion ${\displaystyle \psi }$ wie folgt darstellen:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y)\cdot (\psi (x)-\psi (x+y)).}$

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich für ${\displaystyle 0<x<1}$ folgende Formel:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}.}$

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar:

${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}})=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\cdot K({\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}))}$

${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=2{\sqrt {2}}\cdot K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {1}{7}},{\tfrac {2}{7}})=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos({\tfrac {\pi }{14}})\cdot K({\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}))}$

${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {3}{8}},{\tfrac {3}{8}})=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\cdot K({\sqrt {2}}-1)}$

${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {2}{15}},{\tfrac {8}{15}})={\sqrt[{4}]{3^{3}}}{\sqrt[{12}]{5^{5}}}({\sqrt {5}}-1)\cdot K({\tfrac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}}))}$

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

• Eric W. Weisstein: Beta Function. In: MathWorld (englisch).
• D. Riddhi: Beta function and its applications. (PDF) In: University of Tennessee. 2008; abgerufen am 6. April 2025 (englisch).