Faktorisierung
Zerlegung eines Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren
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Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines mathematischen Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren. Das heißt, ein Objekt wird als Verknüpfung von (in der Regel einfacheren) Objekten dargestellt:
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wobei eine geeignete Verknüpfung in der jeweiligen algebraischen Struktur bezeichnet. Ein Beispiel ist die Faktorisierung in der multiplikativen Struktur der natürlichen Zahlen wie zum Beispiel
Anwendungsbeispiele
- Die stets eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl (vgl. die Faktorisierungsverfahren, um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
- Algebraische Terme lassen sich häufig durch Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln faktorisieren.
- Polynome lassen sich faktorisieren. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
- Anwendung bei Matrizen:
- Eine Matrix kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Dreieckszerlegung (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gewonnen.
- Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der Numerik ist die QR-Zerlegung, die normalerweise mittels Householdertransformationen oder Givens-Rotationen gewonnen werden kann.
- In der Datenanalyse werden unter anderem die non negative matrix factorization und die binary matrix factorization betrachtet, um Matrizen in zwei Cluster- bzw. Konzeptmatrizen zu zerlegen.
- Abstrakter versucht man die Elemente von Ringen in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch Operator-Ringe sein.
- In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden, da die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
- Die statistische Faktorenanalyse nach Spearman.
- Die logische Faktorisierung einer Proposition in Bezug auf eine andere Proposition :[1]
- In der Graphentheorie bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten nur eine bestimmte Anzahl von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als -Faktoren, z. B. 1-Faktoren. Siehe Artikel Faktor (Graphentheorie).
