Fast bei Gruppeneigenschaften

Es sei P eine Eigenschaft von Gruppen. Dann sagt man, dass eine Gruppe fast P ist, wenn sie eine Untergruppe von endlichem Index besitzt, die die Eigenschaft P hat.^[1]

Hinweis: Manche Autoren verlangen, dass die Untergruppe endlichen Indexes in obiger Definition sogar ein Normalteiler sein soll.^[2]

Beispiele sind fast-zyklisch oder fast-auflösbar. Über die Korrespondenz zwischen Überlagerungen und Untergruppen der Fundamentalgruppe lässt sich diese Sprechweise auch auf Mannigfaltigkeiten übertragen: Man sagt, eine Mannigfaltigkeit ist fast P, wenn es eine endliche Überlagerung mit Eigenschaft P gibt.

• Eine Gruppe ist genau dann fast-zyklisch, wenn sie einen zyklischen Normalteiler von endlichem Index hat.
• Jede fast-zyklische Gruppe hat einen endlichen Normalteiler ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle G/N}$ isomorph zu entweder ${\displaystyle 1,\mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle D_{\infty }}$.
• Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer abelschen Gruppe (oder umgekehrt) sind fast-abelsch. Beispielsweise sind verallgemeinerte dihedrale Gruppen fast abelsch.
• Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer nilpotenten Gruppe (oder umgekehrt) sind fast-nilpotent.
• Satz von Gromov: Eine Gruppe ist genau dann fast-nilpotent, wenn sie polynomielles Wachstum hat.
• Tits-Alternative: Eine endlich erzeugte Untergruppe einer Matrixgruppe ist genau dann fast-auflösbar, wenn sie keine freie Untergruppe ${\displaystyle F}$ vom Rang ${\displaystyle rk(F)\geq 2}$ enthält.
• Freie Produkte endlicher Gruppen sind fast-frei. Beispielsweise die Modulgruppe ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ ist virtuell frei.
• Satz von Agol: Jede kompakte, orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist virtuell Haken, virtuell gefasert und hat virtuell positive erste Betti-Zahl.

• John Stallings: Groups of dimension 1 are locally free. Bull. Amer. Math. Soc. 74 1968 361–364.
• Michael Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
• Thomas Farrell, Lowell Jones: The lower algebraic K-theory of virtually infinite cyclic groups. K-Theory 9 (1995), no. 1, 13–30.
• Daniel Juan-Pineda, Ian Leary: On classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups. Recent developments in algebraic topology, 135–145, Contemp. Math., 407, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.
• Wolfgang Lück: Survey on classifying spaces for families of subgroups. Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, 269–322, Progr. Math., 248, Birkhäuser, Basel, 2005.
• Ian Agol: The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. Doc. Math. 18 (2013), 1045–1087.

• Ian Agol: Virtual Properties of 3-Manifolds
• planetmath: virtually cyclic group