Faxén-Integral

Allgemeiner definiert man das ${\displaystyle n}$-dimensionale Faxén-Integral als^[3]

${\displaystyle I_{n}(x)=\lambda _{n}\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }t_{1}^{\beta _{1}-1}\cdots t_{n}^{\beta _{n}-1}e^{-f(t_{1},\dots ,t_{n};x)}\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n},}$

mit

${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n};x):=\sum \limits _{j=1}^{n}t_{j}^{\mu _{j}}-xt_{1}^{\alpha _{1}}\cdots t_{n}^{\alpha _{n}}\quad }$ und ${\displaystyle \quad \lambda _{n}:=\prod \limits _{j=1}^{n}\mu _{j}}$

für ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ und

${\displaystyle (0<\alpha _{i}<\mu _{i},\;\operatorname {Re} (\beta _{i})>0,\;i=1,\dots ,n).}$

Der Parameter ${\displaystyle \lambda _{n}}$ wurde nur aus rechnerischen Gründen eingeführt, man kann auch auf ihn verzichten.

Es gilt folgende Beziehung zur Gammafunktion

• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;0)=\Gamma (\beta ),}$
• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (0,\beta ;x)=e^{x}\Gamma (\beta ).}$

Für ${\displaystyle \alpha =\beta ={\tfrac {1}{3}}}$ erhält man folgende Beziehung zur Scorer-Funktion

${\displaystyle \operatorname {Fi} ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}};x)=3^{2/3}\pi \operatorname {Hi} (3^{-1/3}x).}$