Fermatscher Polygonalzahlensatz
mathematischer Satz
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Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens n-Eckszahlen darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, dem zufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:
Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:
„Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist. Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen.“[1]
Ein solches Buch hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange bewies 1770 den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes[2] und Carl Friedrich Gauß 1796 (unveröffentlicht, er gab aber Beweise für den Fall der Quadrate und Kuben in seinen Disquisitiones arithmeticae) und Legendre (1798) den Spezialfall für Dreieckszahlen.[3] Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1815.[4] Der Beweis von Cauchy galt damals als Sensation und machte ihn berühmt.[5]
Beweisstruktur
Für den Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes werden zunächst die Beweise des Dreieckszahlensatzes sowie des Vier-Quadrate-Satzes vorausgesetzt. Für wird nun das Lemma von Cauchy bewiesen, welches besagt, dass für mit und existieren mit folgenden Eigenschaften:
Mithilfe dieses Satzes kann nun der Fermatsche Polygonalzahlensatz bewiesen werden, indem Bedingungen aufgestellt werden, unter denen die Voraussetzungen des Cauchyschen Lemmas gelten.[6]
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Fermat’s Polygonal Number Theorem. In: MathWorld (englisch).