Fluktuationsverlust

Die von einem Radar empfangene Echoleistung hängt gemäß der Radargrundgleichung unter anderem vom Radarquerschnitt ${\displaystyle \sigma }$ des Zieles ab. Bei ausgedehnten Zielen entsteht das empfangene Echo durch die kohärente Überlagerung der von mehreren Streuzentren reflektierten elektromagnetischen Wellen. Hierzu können beispielsweise Flügel, Triebwerkseinläufe, Rotoren, Aufbauten oder andere geometrische Strukturen eines Zieles beitragen.^[3]

Die Teilwellen treffen abhängig von ihren Laufwegen mit unterschiedlichen Phasen am Empfänger ein. Sie können sich daher konstruktiv oder destruktiv überlagern. Bereits geringe Änderungen des Aspektwinkels, der Entfernung, der Sendefrequenz oder der Zielgeometrie können die Phasenbeziehungen verändern. Der gemessene Radarquerschnitt eines Zieles ist deshalb im Allgemeinen keine zeitlich konstante Größe, sondern unterliegt statistischen Schwankungen.^[2]

Besonders ungünstig wirken sich Zeitpunkte aus, zu denen sich die Beiträge mehrerer Streuzentren weitgehend auslöschen. Obwohl der mittlere Radarquerschnitt des Zieles ausreichend groß sein kann, fällt das momentane Echo dann unter die Detektionsschwelle. Die Mittelung der Echoleistung allein beschreibt die Detektionsleistung daher nicht vollständig.

Der Fluktuationsverlust ist keine zusätzliche physikalische Dämpfung des ausgesendeten oder empfangenen Signals. Er beschreibt vielmehr den durch die statistische Verteilung des Zielsignals hervorgerufenen Leistungsnachteil bei der Detektion.

Für eine vorgegebene Entdeckungswahrscheinlichkeit ${\displaystyle P_{\mathrm {D} }}$ und Falschalarmwahrscheinlichkeit ${\displaystyle P_{\mathrm {FA} }}$ kann der Fluktuationsverlust als Verhältnis des erforderlichen mittleren Signal-Rausch-Verhältnisses eines schwankenden Zieles zu dem eines nicht schwankenden Zieles definiert werden:

${\displaystyle L_{\mathrm {f} }={\frac {{\overline {\mathrm {SNR} }}_{\mathrm {fluktuierend} }}{\mathrm {SNR} _{\mathrm {konstant} }}}.}$

Der konkrete Wert hängt unter anderem von der statistischen Verteilung des Radarquerschnitts, dessen zeitlicher Korrelation, der Anzahl der integrierten Impulse, dem verwendeten Detektor sowie den geforderten Werten von ${\displaystyle P_{\mathrm {D} }}$ und ${\displaystyle P_{\mathrm {FA} }}$ ab.^[1][3]

Der Radarquerschnitt wird bei statistischen Zielmodellen als nichtnegative Zufallsvariable betrachtet. Eine häufig verwendete Modellklasse beruht auf der Gamma-Verteilung. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte kann in der Form

${\displaystyle p(\sigma )={\frac {m^{m}}{\Gamma (m)\,{\overline {\sigma }}^{\,m}}}\sigma ^{m-1}\exp \left(-{\frac {m\sigma }{\overline {\sigma }}}\right),\qquad \sigma \geq 0}$

geschrieben werden. Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ den mittleren Radarquerschnitt, ${\displaystyle m}$ einen Formparameter und ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion. Die Varianz beträgt

${\displaystyle \operatorname {Var} (\sigma )={\frac {{\overline {\sigma }}^{\,2}}{m}}.}$

Mit zunehmendem ${\displaystyle m}$ werden die relativen Schwankungen geringer. Im Grenzfall ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ nähert sich das Modell einem konstanten Radarquerschnitt an.^[3]

Die klassischen Swerling-Modelle kombinieren bestimmte Verteilungen des Radarquerschnitts mit unterschiedlichen Annahmen über dessen zeitliche Korrelation. Dabei wird zwischen langsamen und schnellen Schwankungen unterschieden:

• Bei langsamen Schwankungen bleibt der Radarquerschnitt während einer Folge kohärent oder nichtkohärent integrierter Impulse konstant und ändert sich erst zwischen zwei Beobachtungsintervallen.
• Bei schnellen Schwankungen wird für jeden empfangenen Impuls ein statistisch unabhängiger Radarquerschnitt angenommen.

Diese Annahmen stellen idealisierte Grenzfälle dar. Bei realen Zielen können die Echos teilweise korreliert sein und zwischen den klassischen Fällen liegen.^[1][3]

Peter Swerling führte vier statistische Modelle ein, um die Entdeckungswahrscheinlichkeit pulsierter Radarsysteme gegenüber schwankenden Zielen zu berechnen.^[1] Sie unterscheiden sich durch die Verteilung des Radarquerschnitts und die Geschwindigkeit seiner zeitlichen Änderung.

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Klassische Swerling-Modelle

Modell	Verteilung des Radarquerschnitts	Formparameter	Zeitliche Änderung	Vereinfachte Streuzentreninterpretation
Swerling I	Exponentialverteilung beziehungsweise Chi-Quadrat-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden	${\displaystyle m=1}$	langsam; konstant innerhalb eines Beobachtungsintervalls	mehrere ungefähr gleich starke, unabhängige Streuzentren
Swerling II	Exponentialverteilung beziehungsweise Chi-Quadrat-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden	${\displaystyle m=1}$	schnell; statistisch unabhängig von Impuls zu Impuls	mehrere ungefähr gleich starke, unabhängige Streuzentren
Swerling III	Gamma-Verteilung beziehungsweise Chi-Quadrat-Verteilung mit vier Freiheitsgraden	${\displaystyle m=2}$	langsam; konstant innerhalb eines Beobachtungsintervalls	ein dominantes Streuzentrum und mehrere schwächere Streuzentren
Swerling IV	Gamma-Verteilung beziehungsweise Chi-Quadrat-Verteilung mit vier Freiheitsgraden	${\displaystyle m=2}$	schnell; statistisch unabhängig von Impuls zu Impuls	ein dominantes Streuzentrum und mehrere schwächere Streuzentren

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Ein Detektor vergleicht üblicherweise eine aus dem Empfangssignal gebildete Prüfgröße mit einer Detektionsschwelle. Bei einem nicht schwankenden Ziel wird die Verteilung dieser Prüfgröße ausschließlich durch das Zielsignal und das Empfängerrauschen bestimmt. Bei einem schwankenden Ziel muss zusätzlich über die Verteilung des Radarquerschnitts gemittelt werden:

${\displaystyle P_{\mathrm {D} }=\int _{0}^{\infty }P_{\mathrm {D} }(\sigma )\,p(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma .}$

Auch bei gleichem mittleren Radarquerschnitt können zwei Zielmodelle deshalb unterschiedliche Entdeckungswahrscheinlichkeiten besitzen. Der Einfluss der Fluktuation ist besonders groß, wenn eine hohe Entdeckungswahrscheinlichkeit gefordert wird. In diesem Fall können seltene, aber stark abgeschwächte Zielzustände die mittlere Detektionsleistung bestimmen.^[1]

Die Wirkung der Fluktuation hängt außerdem von der Impulsintegration ab. Bei schnellen und statistisch unabhängigen Schwankungen können mehrere Impulse unterschiedliche Zielzustände erfassen. Bei langsamen Schwankungen besitzen dagegen alle innerhalb eines Beobachtungsintervalls empfangenen Impulse denselben Radarquerschnitt. Eine Erhöhung der Impulszahl reduziert dann zwar den Einfluss des Empfängerrauschens, jedoch nicht die innerhalb des Intervalls konstante Zielschwankung.^[3]

Der Einfluss von Zielschwankungen kann durch Diversitätsverfahren reduziert werden. Dazu gehören insbesondere:

• die Beobachtung auf mehreren ausreichend getrennten Sendefrequenzen,
• die Verwendung unterschiedlicher Polarisationen,
• die Beobachtung aus verschiedenen räumlichen Blickrichtungen,
• längere Beobachtungszeiten beziehungsweise mehrere Radarüberstriche,
• die nichtkohärente Integration statistisch hinreichend unabhängiger Echos.

Bei einer Frequenzdiversität verändern sich die Phasenbeziehungen zwischen den Streubeiträgen mit der Wellenlänge. Ein destruktives Interferenzminimum bei einer Frequenz tritt daher im Allgemeinen nicht gleichzeitig bei einer ausreichend weit entfernten zweiten Frequenz auf. Die Wirksamkeit eines Diversitätsverfahrens setzt jedoch voraus, dass die gewonnenen Beobachtungen nicht stark miteinander korreliert sind.^[2]

Die klassischen Swerling-Modelle sind vereinfachte statistische Modelle. Sie setzen entweder eine vollständig konstante oder eine vollständig unabhängige Änderung des Radarquerschnitts innerhalb der betrachteten Impulsfolge voraus. Reale Zielsignale weisen dagegen häufig eine endliche Korrelationszeit auf. Zudem kann die Verteilung vom Aspektwinkel, von der Frequenz, der Polarisation, der Radarauflösung und von beweglichen Zielbestandteilen abhängen.

Für detailliertere Untersuchungen werden deshalb unter anderem verallgemeinerte Gamma-Modelle, lognormalverteilte, Weibull-verteilte oder messdatenbasierte Radarquerschnittsmodelle verwendet. Die Swerling-Modelle werden dennoch häufig zur analytischen Abschätzung, zur Simulation und zum Vergleich von Radarsystemen eingesetzt, da sie mit wenigen Parametern charakteristische Grenzfälle der Zielfluktuation beschreiben.^[3]