Formel von Besge

Die Formel besagt folgendes:^[2]

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$ gilt die Gleichung

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\bigl (}\sigma (k)\cdot \sigma (n-k){\bigr )}={\frac {5{\sigma }_{3}(n)}{12}}+\left({\frac {1}{12}}-{\frac {n}{2}}\right)\cdot \sigma (n)\,}$.^{[A 1]}

Aus der Formel von Besge ergibt sich eine bekannte Reihenentwicklung, die dem englischen Mathematiker James Whitbread Lee Glaisher zugerechnet wird:^{[3][A 2]}

Für jede komplexe Zahl ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle |q|<1}$ gilt die Gleichung

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{{\sigma (n)}\cdot q^{n}}\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {5{\sigma }_{3}(n)}{12}}+{\frac {\sigma (n)}{12}}-{\frac {n\sigma (n)}{2}}\right)\cdot q^{n}}\,}$.

Die obige Besge’sche Formel beruht auf einer allgemeinen Formel von Liouville aus dem Jahre 1858:^[4]

Gegeben seien eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$ und eine gerade Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} \,}$.

Dann gilt die Gleichung

${\displaystyle \sum \limits _{\left(a,b,x,y\right)\in {\mathbb {N} }^{4}\;{\text{und}} \atop \;\ {ax+by=n}}\left(f(a-b)-f(a+b)\right)=f(0)\cdot \left(\sigma (n)-d(n)\right)+\sum \limits _{d\in \mathbb {N} \;{\text{und}} \atop \;\ d|n}\left({\bigl (}1+{\frac {2n}{d}}-d{\bigr )}\cdot f(d)\right)-2\cdot \sum \limits _{d\in \mathbb {N} \;{\text{und}} \atop \;\ d|n}\left(\sum _{k=1}^{d}{f(k)}\right)\,}$.^{[A 3]}

Um wen es sich bei besagtem Monsieur Besge konkret handelt, ist nicht vollständig geklärt. Nicht zuletzt gibt es die auf den Mathematikhistoriker Jesper Lützen zurückgehende Vermutung, dass „Besge“ ein Pseudonym von Liouville selbst ist.^[2]

• M. Besge: Extrait d'une Lettre de M. Besge à M. Liouville. In: J. Math. Pures Appl. 1862, S. 256.
• Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville (= London Mathematical Society Student Texts. Band 76). Cambridge University Press, Cambridge 2011, ISBN 978-0-521-17562-3 (MR2731552).