Formel von Staver

Die Formel von Staver (englisch Staver's formula) ist eine mathematische Formel über die Summation der Kehrwerte der Binomialkoeffizienten. Sie geht auf eine Publikation von Tor B. Staver aus dem Jahre 1947 zurück.^[1]

Darstellung der Formel

Die Formel besagt Folgendes:^[2]

Für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt die Gleichung

\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\binom {n}{k}}}={\frac {n+1}{2^{n+1}}}\cdot \sum _{j=1}^{n+1}{\frac {2^{j}}{j}}\,

.

Beispiel für n=4

Linke Seite

\sum _{k=0}^{4}{\frac {1}{\binom {4}{k}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}+1=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}={\frac {8}{3}}

.

Rechte Seite

{\frac {5}{32}}\cdot \sum _{j=1}^{5}{\frac {2^{j}}{j}}={\frac {5}{32}}\cdot (2+2+{\frac {8}{3}}+4+{\frac {32}{5}})={\frac {5}{32}}\cdot (8+{\frac {8}{3}}+{\frac {32}{5}})={\frac {5}{32}}\cdot 8\cdot (1+{\frac {1}{3}})+1={\frac {5}{3}}+1={\frac {8}{3}}

.

Folgerung

Unter Anwendung der Staver’schen Formel lässt sich eine verwandte Gleichung herleiten, die einer Publikation der Mathematiker Gregory Galperin und Hillel Gauchman aus dem Jahre 2004 entstammt:^[3]

Für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gilt die Gleichung

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\cdot {\binom {n}{k}}}}={\frac {1}{2^{n-1}}}\cdot \sum _{j=1,2,\ldots ,n\,{\text{und ungerade}}}{\frac {\binom {n}{j}}{j}}\,

.

Beispiel für n=5

Linke Seite

\sum _{k=1}^{5}{\frac {1}{k\cdot {\binom {5}{k}}}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2}{5}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}={\frac {16}{30}}={\frac {8}{15}}

.

Rechte Seite

{\frac {1}{2^{4}}}\cdot \sum _{j=1,3,5}{\frac {\binom {5}{j}}{j}}={\frac {1}{16}}\cdot (5+{\frac {10}{3}}+{\frac {1}{5}})={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {128}{15}}={\frac {8}{15}}

.

Weitere Identitäten

Darüber hinaus gibt es eine Anzahl von Identitäten, die mit der Formel von Staver verwandt sind oder ihr ähneln.^[4]

Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang nicht zuletzt eine rekursive Gleichung, die auf eine Arbeit von Balasubramanian Sury aus dem Jahre 1993 zurückgeht.^[5]

Hier setzt man für $n\in \mathbb {N} _{0}$

S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\binom {n}{k}}}

^[6]

und hat dann

S_{n}={\frac {n+1}{2n}}\cdot S_{n-1}+1\,(n=1,2,3,\ldots )

.

Beispiel für n=5

Linke Seite

S_{5}=\sum _{k=0}^{5}{\frac {1}{\binom {5}{k}}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{5}}+1=2+{\frac {3}{5}}={\frac {13}{5}}

.

Rechte Seite

{\frac {6}{10}}\cdot S_{4}+1={\frac {3}{5}}\cdot {\frac {8}{3}}+1={\frac {13}{5}}

.

Quellen und Literatur

Gregory Galperin, Hillel Gauchman: Problem no. 11103. In: American Mathematical Monthly. Band 111, 2004, S. 725 (englisch).
Morgens Esrom Larsen: Summa summarum (= CMS Treatises in Mathematics). Canadian Mathematical Society, Ottawa, Ontario 2007, ISBN 978-1-56881-323-3, S. 62–63 (englisch, zbMATH Open).
Romeo Meštrović: An extension of Sury’s identity and related congruences. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Band 85, 2012, S. 482–496 (englisch, zbMATH Open).
Tor B. Staver: Om summasjon av potenser av binomialkoeffisientene (deutsch Über Summation von Potenzen von Binomialkoeffizienten). In: Norsk Matematisk Tidsskrift. Band 29, 1947, S. 97–103 (englisch, zbMATH Open).
B. Sury: Sum of the reciprocals of the binomial coefficients. In: European Journal of Combinatorics. Band 14, 1993, S. 351–353 (englisch, zbMATH Open).

Einzelnachweise

[1]
Morgens Esrom Larsen: Summa summarum. Canadian Mathematical Society, Ottawa, Ontario 2007, S. 62–63.
[2]
Larsen: Summa summarum, S. 62
[3]
Larsen: Summa summarum, S. 63
[4]
R. Meštrović: An extension of Sury’s identity and related congruences. In: Bull. Aust. Math. Soc. Band 85, 2012, S. 482–496 (englisch).
[5]
B. Sury: Sum of the reciprocals of the binomial coefficients. In: European Journal of Combinatorics. Band 14, 1993, S. 351–353 (englisch).
[6]
Vgl. die Folge A046825 in OEIS und die Folge A046826 in OEIS für die Zähler und die Nenner der $S_{n}$ !

Beispiel für n=4

Beispiel für n=5

Beispiel für n=5

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