Freie Poisson-Verteilung

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Die freie Poisson-Verteilung^[1] mit Parametern ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \lambda }$ ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$

für ${\displaystyle N\to \infty }$.

Genauer: Seien ${\displaystyle X_{N}}$ Zufallsvariable, so dass ${\displaystyle X_{N}}$ den Wert ${\displaystyle \alpha }$ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \lambda /N}$ und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-\lambda /N}$ annimmt. Sei weiterhin die Familie ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$ im Grenzwert ${\displaystyle N\to \infty }$ durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \lambda }$ gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

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Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form^[2]

${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{wenn }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{wenn }}\lambda >1,\end{cases}}}$

wobei

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$

den Träger ${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}]}$ hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch ${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}}$.

Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.