Gabor-Filter

In der Signalverarbeitung kommen in Wesentlichen 1D und wie im Bereich der Bildsignalverarbeitung 2D Filter zum Einsatz. 2D-Garborfilter lassen sich wie folgt beschreiben: Wenn x=[x₁ x₂]^T die Bildkoordinaten sind, dann ergibt sich die Impulsantwort g(x) eines Gabor-Filters in exponentieller Schreibweise zu:

${\displaystyle g_{m,n}(x)={\frac {1}{2\pi a_{n}b_{n}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}A_{mn}x}e^{jk_{0mn}^{T}x}}$

Die Matrix A beschreibt hierbei die Form der Gauß'schen Einhüllenden des Filters.

${\displaystyle A_{mn}={\begin{bmatrix}\cos \phi _{m}&-\sin \phi _{m}\\\sin \phi _{m}&\cos \phi _{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}^{-2}&0\\0&b_{n}^{-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \phi _{m}&\sin \phi _{m}\\-\sin \phi _{m}&\cos \phi _{m}\end{bmatrix}}}$

Der Vektor k₀ bestimmt die Bandbreite und die Orientierung des Filters in der Bildebene. Wird der Filter derart eingestellt, dass die Modulationsrichtung in eine der Achsen der Gauß'schen Einhüllenden (Matrix A) zeigt, mit:

${\displaystyle k_{0mn}=k_{0n}{\begin{pmatrix}\cos \phi _{m}\\\sin \phi _{m}\end{pmatrix}}}$

ergibt sich eine Impulsantwort des Filters wie sie in der Abbildung dargestellt ist.^[10]

Eine Filterbank aus mehreren Gabor-Filtern mit unterschiedlichen Frequenzen und Orientierungen kann benutzt werden, um verschiedene Merkmale (Features) in einem Bild zu erkennen.^[11]

Werden die Filter dabei in Oktaven mit logarithmisch zunehmender Bandbreite eingeteilt, ergibt sich eine Auflösungspyramide mit der sich Grob-Feinstrategien in der Bildverarbeitung realisieren lassen. Hierbei können die Filterergebnisse bei Einhaltung des Shannon-Abtasttheorems entsprechend komprimiert werden, um den Berechnungsaufwand der nachfolgenden Verarbeitungsschritte zu reduzieren.^[10][3]

Die Übertragungsfunktion G(k) eines Gabor-Filters im (Orts-)Frequenzbereich (Fouriertransformation der Impulsantwort g(x)) ist definiert durch:

${\displaystyle G_{m,n}(k)=e^{-{\frac {1}{2}}(k-k_{0mn})^{T}(A_{mn}^{-1})^{T}(k-k_{0mn})}}$

wobei k=[k₁ k₂]^T der räumliche Frequenzvektor bzw. der Ortsfrequenzvektor ist. Soll nun das Eingangsbild mit N Filtern unterschiedlicher Auflösung in Form einer Oktavbandeinteilung gefiltert werden, können die Modulationsfrequenzen k_0n wie folgt gewählt werden:

${\displaystyle k_{0n}={\frac {\pi }{2^{n+1}}}}$  ; ${\displaystyle n\in [0..N-1]}$

Die Filterergebnisse können anschließend mit dem Faktor 2ⁿ ohne Informationsverlust komprimiert werden.

Um gerichtete Informationen, wie Linien- oder Kantenverläufe aus Bilddaten zu extrahieren, können M 2D-Garbor-Filter mit unterschiedlichen Orientierungen und Modulationsfrequenzvektoren verwendet werden.

${\displaystyle \phi _{m}=m\Delta \phi }$  ; ${\displaystyle m\in [0..M-1]}$

In der Stereobildverarbeitung bieten orientierungsselektive Gabor-Filter die Möglichkeit, gerichtete Intensitätsänderungen (z. B. Kanten- oder Linienstrukturen) orthogonal zur Stereobasis (im Stereonormalfall) aus den Bilddaten herauszufiltern, um die Robustheit bei der Zuordnung korrespondierender Bildbereiche zu erhöhen (siehe Korrespondenzproblem).^[12]

In der Texterkennung sind Gabor-Filter geeignet, um Schriftzeichen in mehrsprachigen Dokumenten zu erkennen.^[13] Gabor-Filter mit verschiedenen Frequenzen und Orientierungen können benutzt werden, um Textfelder aus komplexen ein- und mehrfarbigen Dokumenten-Scans zu extrahieren, da Text im Vergleich zu Bildern oder Zeichnungen mehr hochfrequente Anteile besitzt.^[14][15] Weitere Anwendungen besitzt der Filter in der Emotionserkennung^[16] und der Mustererkennung in der Medizin.^[17] Weitere Anwendungsbereiche im Bereich Bilderkennung sind die Iris-Erkennung, die Erkennung von Fingerabdrücken und Landnutzungsklassifizierung von Satellitendaten.^[18]

• Gabor-Transformation