Gelfond-Konstante

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Von diesen Darstellungen existieren mehrere.

Darstellung als Reihe

Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ergibt sich eine Verbindung der Gelfond-Konstanten mit den Volumina der Einheitskugeln in den euklidischen Räumen geradzahliger Dimension, also in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\,(n=0,1,2,3,\ldots )}$.

Denn es ist ja

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(1)}$^{[E 3]}

Darstellung als Grenzwert einer schnell konvergenten Folge

Diese Folgenkonvergenz geht aus einer Folge hervor, welche durch rekursive Definition gewonnen wird:

(a) ${\displaystyle x_{0}:={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

(b) ${\displaystyle x_{n+1}:={\frac {1-{\sqrt {1-x_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x_{n}^{2}}}}}\;\;(n=1,2,3,\,\dots )}$

Damit hat man:^[3]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left({\frac {4}{x_{n+1}}}\right)^{\frac {1}{2^{n}}}}\,=\,{\rm {e}}^{\pi }}$.

Darstellung als Kettenbruch

Die Darstellung der Gelfond-Konstanten als regulärer Kettenbruch^{[E 4]} beginnt mit

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=23+{\frac {1}{7+{\frac {1}{9+{\frac {1}{3+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{591+\ddots }}}}}}}}}}}}}$.^{[A 3]}

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Bei der Untersuchung der Eigenschaften der Gelfond-Konstanten gelangt man auch zu der Frage, was man über reelle Zahlen sagen kann, die als ähnlich gebildete Potenzen aus eulerscher Zahl und Kreiszahl hervorgehen.

Bildet man hier (etwa) für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$ die (nach dem Satz von Gelfond-Schneider) transzendente Zahl

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}={\mathrm {i} }^{\left(-2\mathrm {i} {\sqrt {n}}\right)}}$

Interessant ist der Umstand, dass man für ${\displaystyle n=6,17,18,22,25,37,43,58,59,67,163}$ reelle Zahlen gewinnt, die fast ganzzahlig^{[E 5]} sind.

Dies sind:^[4]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {6}}}=2.197{,}990\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {17}}}=422.150{,}997\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {18}}}=614.551{,}992\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {22}}}=2.508.951{,}998\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {25}}}=e^{5\pi }=6.635.623{,}9993\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {37}}}=199.148.647{,}99997\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=884.736.743{,}9997\ldots }$^{[A 4]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=24.591.257.751{,}9999998\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {59}}}=30.197.683.486{,}993\ldots }$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=147.197.952.743{,}999998\ldots }$^{[A 5]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262.537.412.640.768.743{,}9999999999992\ldots }$^{[A 6][A 7]}

Zu diesen Fast-Ganzzahlen zählt man auch die reelle Zahl

${\displaystyle {{\rm {e}}^{\pi }}-\pi =19{,}9990\ldots }$^{[A 8][A 9]},

bei der es unklar scheint, ob es sich um eine algebraische oder um eine transzendente Zahl handelt.

Die Frage der Transzendenz steht ebenfalls bei mehreren der Gelfond-Konstanten ähnelnden Potenzen offen im Raum. Dazu gehören beispielsweise die folgenden:^[5]

${\displaystyle \pi ^{\rm {e}}=22{,}4591577183\ldots }$^{[A 10]}

${\displaystyle \pi ^{\pi }=36{,}462159\ldots }$^{[A 11]}

${\displaystyle {\rm {e}}^{\rm {e}}=15{,}1542622414\ldots }$^{[A 12]}

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {e}}^{2}}=1.618{,}1779919126\ldots }$^{[A 13]}

• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Reprint of the 1987 original (= Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X, S. 347 ff.
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1992, ISBN 3-540-55178-6, S. 270 ff.
• T. Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 81). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1957.
• Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, S. 225 ff., 397 ff., doi:10.1007/978-3-662-58326-5.

• Gelfond-Schneider-Konstante
• Transzendente Zahl

• Eintrag Gelfond's Constant bei MathWorld
• Eintrag Gelfond-Schneider Constant bei MathWorld
• Eintrag Almost Integer bei MathWorld